Прямоугольные координаты на плоскости.
Пусть дана старая и новая прямоугольные системы координат, соответственно (0, , ) и (О', ', '). Обозначив через φ угол между векторами и '. Тогда
x = x'cosφ - y'sinφ + α,
y = x'sinφ + y'cosφ + β
В частности, если = ' и = ', то формулы принимают вид
x = х' + α, у = у' + β
- формулу преобразования координат при параллельном переносе системы координат
Если же точки 0 и 0' совпадают, то
x = x'cosφ - y'sinφ,
y = x'sinφ + y'cosφ.
- формулы преобразования координат при повороте системы координат вокруг начала на угол φ
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.
Прямая на плоскости
Пусть в плоскости α задана афинная система координат (0, , ) и прямая l, принадлежащая этой плоскости α. Составим уравнение прямой l. Заметим, что положение прямой l однозначно определено, если известен вектор, коллинеарный этой прямой и называемый направляющим вектором прямой, и точка, через которую прямая проходит. Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор, коллинеарный данной прямой. Пусть = (m1,n1) и =(m2,n2) - какие-либо направляющие векторы прямой l. Тогда из необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов
следует, что Если прямая l не параллельна оси OY, то следовательно,
- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат.
В частности, для прямоугольной системы координат (0, )
k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.
Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а,0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению
x = a
- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ОУ. Заметим, что в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять вектор (0,р), где р - произвольное отличное от нуля число. В этом случае, как видим угловой коэффициент прямой не существует.
Пусть прямая l проходит через точку A (а,b) и имеет угловой коэффициент k. Возьмем произвольную точку М (х,у) на прямой l. Тогда =(х-а, у-b) - направляющий вектор прямой l.
Следовательно,
Отсюда
y – b = k (x-а)
-уравнение прямой с угловым коэффициентом k.
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.
Теорема. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида
Аx + By + С = О, (1)
где А, В, С R и А2 + В2 0. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.
Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой.
Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда
-Ах-By=-С, и .
Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим
- уравнение в отрезках.
Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.
Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M1(x1,у1) и М2(х2,у2) принадлежит l. Тогда
Аx1 + Ву1 + С = Ах2 + Ву2 + С, то есть A(x1-x2) + В(у1-у2) = 0.
Последнее равенство означает, что вектор =(А,В) ортогонален вектору =(x1-x2,у1-у2). т.е. Вектор (А,В) называется нормальным вектором прямой l.
Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда
=А(-В)+ВА=0. т.е. ^ .
Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором пряной l.
Параметрическое и каноническое уравнения прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направляющий вектор = (m,n) и точка M0 (x0,y0) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x,у) этой прямой имеем
и так как то .
Если обозначить и
- радиус-векторы соответственно точек M и M0, то
- уравнение прямой в векторной форме.
Так как =(х,у), =(х0,у0), то
x = x0 + mt,
y = y0 + nt
- параметрическое уравнение прямой.
Отсюда следует, что
- каноническое уравнение прямой.
Наконец, если на прямой l заданы две точки M1(х1,у1) и
M2(x2,у2), то вектор =(х2-х1,y2-у1) является направляющим вектором прямой l. Тогда
- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.
Взаимное расположение двух прямых.
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями
l1: А1х + В1у + С1 = 0, (1)
l2: А2х + В2у + С2 = 0.
Теорема. Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:
1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что
A1=λA2, В1=λB2;
2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что
А1=λA2, B1=λB2, С1=λС2;
3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что
А1=λA2, В1=λВ2, С1 λС2.
Пучок прямых
Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.
Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l1 и l2 , проходящие через центр пучка.
Пусть в аффинной системе координат прямые l1 и l2 заданы уравнениями
l1: A1x + B1y + C1 = 0,
l2: A2x + B2y + C2 = 0.
Уравнение:
A1x + B1y + С + λ (A2х + В2y + C) = 0
- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l1 и l2
В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|