Линейные операции над векторами.
А.Д. Ходалевич
Р.В. Бородич
В.Н. Рыжик
«Аналитическая геометрия »
Тексты лекций
Гомель, 2004
УДК 514 (078)
ББК 22.151 Я73
Х 69
Рецензенты: Семенчук В.Н. – профессор, доктор физико-математических наук кафедра высшей математики учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».
Рекомендован к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» 24 марта 2004 года, протокол № 7
Ходалевич А.Д.
Х 69 Аналитическая геометрия: Тексты лекций. /А.Д.Ходалевич,
Р.В.Бородич, В.Н. Рыжик. − Гомель: УО «ГГУ им. Ф.Скорины»; 2004 − 65с.
Дается краткое изложение курса лекций по аналитической геометрии для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика»
УДК 514 (078)
ББК 22.151 Я73
Х 69
© А.Д. Ходалевич, Р.В. Бородич, В.Н. Рыжик, 2004
© Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины», 2004
СОДЕРЖАНИЕ
1. Векторы и координаты………………………………….…4
2. Прямая на плоскости………………………………………20
3. Плоскость…………………………………………………...25
4. Прямая в пространстве. Взаимное расположение
прямой и плоскости в пространстве…………………………29
5. Кривые второго порядка…………………………………...33
6. Поверхности второго порядка……………………………..56
Литература………………………………………………….….64
Аналитическая геометрия - это раздел математики, в котором геометрические объекты изучаются с помощью алгебраических методов, в основе которых лежит понятие координат.
ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ
Понятие вектора
Пусть А – произвольное непустое множество. Декартовым кваратом А называется множество
A2 =
Бинарным отношением на А называется любое подмножество множества A2.
Отношением эквивалентности на А называется такое бинарное отношение на А, которое удовлетворяет следующим условиям:
1) (рефлексивность);
2) если ( ,b) то (b, ) (симметричность);
3) если ( ,b) то ( ,c) (транзитивность).
Теорема.Любое отношение эквивалентности на множестве А определяет разбиение этого множества на попарно непересекающиеся классы (классы эквивалентности). Обратно, любое разбиение множества А на попарно непересекающиеся классы определяет отношение эквивалентности на А.
Направленный отрезок – отрезок, у которого указано, какая точка является началом, а какая концом. Обозначается .
Пусть заданы направленные отрезки и , не лежащие на двух различных параллельных прямых, и плоскость , проходящая через точки В и D. Тогда плоскость разбивает все пространство на два полупространства. Если при этом точки B и D лежат в одном полупространстве, то говорят, что направленные отрезки и одинаково направлены (обозначается ). В противном случае, они называются противоположно направленными (обозначается ).
Если направленные отрезки и лежат на одной прямой, то они одинаково (противоположно) направлены, если существует такой третий направленный отрезок , который одинаково направлен с каждым из направленных отрезков и (противоположно направлен в точности с одним из направленных отрезков или ).
Абсолютной величиной или модулем (длиной) направленного отрезка называется длина этого направленного отрезка и обозначается | |.
Два направленных отрезка и называются равными, если и , при этом пишут = ,
Теорема. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности.
Тогда вектором называется абстрактный объект, совпадающий с некоторым классом эквивалентности.
Таким образом, каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением (изображением) данного вектора, а неравные направленные отрезки считаются представлением разных векторов. Поэтому в дальнейшем вектор изображается точно так, как и соответствующий ему направленный отрезок.
Векторы и называются коллинеарными, если образующие их направленные отрезки параллельны одной и той же прямой (обозначается || ).
Три и более векторов называются компланарными, если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости.
Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает с его концом (обозначается ). Направление нулевого вектора не определено.
Линейные операции над векторами.
Определение. Суммой + векторов и называется вектор, проведенный из начала к концу , если конец и начало совпадают. Приведенное определение сложения векторов называется правилом треугольника. Векторы и можно складывать, пользуясь правилом параллелограмма.
Если имеется n векторов , то их сумма определяется как вектор .
Определение. Разностью векторов и называется такой вектор = - , что выполняется равенство + = .
Легко показать, что для любого вектора , существует такой единственный вектор , называемый противоположным вектору
что + = . Вектор, противоположный вектору , будем обозначать – .
Определение. Произведением вектора на число λ (λ 0) называется вектор =λ , удовлетворяющий следующим условиям:
1) векторы и одинаково направлены, если λ>0, и противоположно направлены, если λ<0;
2) | |=|λ|| |.
По определению, произведение произвольного вектора на число 0 есть нулевой вектор, т.е. 0 = .
Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:
1) сложение векторов коммутативно:
+ = + , " , ;
2) сложение векторов ассоциативно:
( + )+ = +( + ), " , , ;
3) + = , " ;
4) +(- )=0, " ;
5) умножение вектора на число ассоциативно:
α (β ) = (α β) , " " α, β Î R;
6) 1 = , " ;
7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к
сложению чисел:
(α+β) =α +β , " , " α, β Î R;
8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов:
α( + )=α +α , " , , " α Î R;
Множество всех векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1) – 8), называется линейным, или векторным пространством, и обозначается ( ).
Теорема (необходимое и достатаочное условие коллинеарности двух векторов). Для того чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало число λ, удовлетворяющее условию:
= λ .
Проекции.
Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.
Пусть l - некоторая ось, α - плоскость, непараллельная оси l. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α и обозначим точку пересечения плоскости α' c осью l через А1. Тогда точка А1 называется проекцией точки А на ось l относительно плоскости α. В частности, если α l, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.
Пусть теперь задан вектор . Возьмем проекции А1 и В1 точек А и В на ось l относительно плоскости α.
Тогда вектор называется проекциейвектора на ось l относительно плоскости α. Величиной проекции вектора на ось l относительно плоскости α называется число, равное:
а) | |, если направление вектора совпадает с направлением оси l;
б) - | |, если направление противоположно направлено оси l.
Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора на ось l будем обозначать Прl , а для ортогональной проекции использовать обозначение прl .
Пусть α - некоторая плоскость и l – прямая, такая, что l не параллельна α. Через произвольную точку А пространства проведем прямую l1 || l и обозначим точку пересечения прямой l1 с плоскостью α через А1. Точка А1 называется проекциейточки А наплоскость α относительнопрямой l.
Если прямая l α, то проекция называется прямоугольной, или ортогональной.
Определение. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью.
Из определения следует, что 0 α π. Угол между векторами или между осями, или между вектором и осью будем обозначать соответственно: ( ), ( ), ( ).
Теорема. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами:
1) ;
2)
3) .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|