ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ.
Опираясь на приведенные выше определения теории графов, приведем формулировки и доказательства теорем, которые затем найдут свои приложения при решении задач.
Теорема 1.Удвоенная сумма степеней вершин любого графа равна числу его ребер.
Доказательство. Пусть А1, А2, А3, ..., An — вершины данного графа, a p(A1), р(А2), ..., p(An) – степени этих вершин. Подсчитаем число ребер, сходящихся в каждой вершине, и просуммируем эти числа. Это равносильно нахождению суммы степеней всех вершин. При таком подсчете каждое ребро будет учтено дважды (оно ведь всегда соединяет две вершины).
Отсюда следует: p(A1)+р(А2)+ ... +p(An)=0,5N, или 2(p(A1)+р(А2)+ ... +p(An))=N , где N — число ребер.
Теорема 2.Число нечетных вершин любого графа четно.
Доказательство. Пусть a1, a2, a3, …, ak— это степени четных вершин графа, а b1, b2, b3, …, bm — степени нечетных вершин графа. Сумма a1+a2+a3+…+ak+b1+b2+b3+…+bmровно в два раза превышает число ребер графа. Сумма a1+a2+a3+…+akчетная (как сумма четных чисел), тогда сумма b1+b2+b3+…+bm должна быть четной. Это возможно лишь в том случае, если m — четное, то есть четным является и число нечетных вершин графа. Что и требовалось доказать.
Эта теорема имеет немало любопытных следствий.
Следствие 1.Нечетное число знакомых в любой компании всегда четно.
Следствие 2.Число вершин многогранника, в которых сходится нечетное число ребер, четно.
Следствие 3.Число всех людей, когда-либо пожавших руку другим людям, нечетное число раз, является четным.
Теорема 3.Во всяком графе с nвершинами, где nбольше или равно 2, всегда найдутся две или более вершины с одинаковыми степенями.
Доказательство. Если граф имеет nвершин, то каждая из них может иметь степень 0, 1, 2, ..., (n-1). Предположим, что в некотором графе все его вершины имеют различную степень, то есть, и покажем, что этого быть не может. Действительно, если р(А)=0, то это значит, что А — изолированная вершина, и поэтому в графе не найдется вершины Х со степенью р(Х)=n-1. В самом деле, эта вершина должна быть соединена с (n-1) вершиной, в том числе и с А, но ведь А оказалась изолированной. Следовательно, в графе, имеющем n вершин, не могут быть одновременно вершины степени 0 и (n-1). Это значит, что из nвершин найдутся две, имеющие одинаковые степени.
Теорема 4.Если в графе с nвершинами (nбольше или равно 2) только одна пара имеет одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо единственная изолированная вершина, либо единственная вершина, соединенная со всеми другими.
Доказательство данной теоремы мы опускаем. Остановимся лишь на некотором ее пояснении. Содержание этой теоремы хорошо разъясняется задачей: группа, состоящая из nшкольников, обменивается фотографиями. В некоторый момент времени выясняется, что двое совершили одинаковое число обменов. Доказать, что среди школьников есть либо один еще не начинавший обмена, либо один уже завершивший его.
Теорема5.Если у графа все простые циклы четной длины, то он не содержит ни одного цикла четной длины.
Суть теоремы в том, что на этом графе невозможно найти цикл (как простой, так и непростой) нечетной длины, то есть содержащий нечетное число ребер.
Теорема 6.Для того, чтобы граф был эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы он был связным и все его вершины имели четную степень.
Теорема 7.Для того чтобы на связном графе можно было бы проложить цепь АВ, содержащую все его ребра в точности по одному разу, необходимо и достаточно, чтобы А и В были единственными нечетными вершинами этого графа.
Доказательство этой теоремы очень интересно и характерно для теории графов. Его также следует считать конструктивным (обратите внимание на то, как •использована при этом теорема 6). Для доказательства к исходному графу присоединяем ребро (А, В); после этого все вершины графа станут четными. Этот новый граф удовлетворяет всем условиям теоремы 3.6, и поэтому в нем можно проложить эйлеров цикл Ψ. И если теперь в этом цикле удалить ребро (А, В), то останется искомая цепь АВ.
На этом любопытном приеме основано доказательство следующей теоремы, которую следует считать обобщением теоремы 7.
Теорема 8. Если данный граф является связным и имеет 2k вершин нечетной степени, то в нем можно провести k различных цепей, содержащих все его ребра в совокупности ровно по одному разу.
Теорема 9.Различных деревьев с n перенумерованными вершинами можно построить nn-2.
По поводу доказательства этой теоремы сделаем одно замечание. Эта теорема известна, в основном, как вывод английского математика А. Кэли (1821—1895). Графы-деревья издавна привлекали внимание ученых. Сегодня двоичные деревья используются не только математиками, а и биологами, химиками, физиками и инженерами
Теорема 10.Полный граф с пятью вершинами не является плоским.
Доказательство. Воспользуемся формулой Эйлера: В-Р+Г=2, где В — число вершин плоского графа, Р — число его ребер, Г — число граней.
Формула Эйлера справедлива для плоских связных графов, в которых ни один из многоугольников не лежит внутри другого.
Эту формулу можно доказать методом математической индукции. Это доказательство мы опускаем. Заметим только, что формула справедлива и для пространственных многогранников. Пусть все пять вершин графа соединены друг с другом. Замечаем, что на графе нет ни одной грани, ограниченной только двумя ребрами. Если через φ1обозначить число таких граней, то φ2=0. Далее рассуждаем от противного, а именно: предположим, что исследуемый граф плоский. Это значит, что для него верна формула Эйлера.
Число вершин в данном графе В=5, число ребер Р=10, тогда число граней Г=2-В+Р=2-5+10=7.
Это число можно представить в виде суммы: Г=φ1+φ2+φ3+…, где φ3 – число граней, ограниченных тремя ребрами, φ4 — число граней, ограниченных четырьмя ребрами и т. д.
С другой стороны, каждое ребро является границей двух граней, а поэтому число граней равно 2Р, в то же время 2Р=20=3φ3+4φ4+.... Умножив равенство Г=7=φ3+ φ4 + φ5 +… на три, получим ЗГ=21=3( φ3 + φ4 + φ5 + …).
Ясно, что (3φ3+3φ4+3φ5+…) < (3φ3+4φ4+ 5φ5+…)или 3Г<2Р, но по условию, 2Р=20, а ЗГ=21; поэтому вывод, полученный при введенном нами предположении (граф плоский), противоречит условию. Отсюда заключаем, что полный граф с пятью вершинами не является плоским.
Теорема 11. (Теорема Понтрягина-Куратовского)Граф является плоским тогда и только тогда, когда он не имеет в качестве подграфа полного графа с пятью вершинами.
В заключение следует упомянуть то, что в нем объяснялись только основные теоремы теории графов.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.
В соответствии с вышесказанным, в данном параграфе будут рассмотрены задачи, которые используются в школе на уроках математики.
Условно их можно классифицировать, подразделив на несколько групп:
1. Задачи о мостах.
2. Логические задачи
3. Задачи о "правильном" раскрашивании карт
4. Задачи на построение уникурсальных графов
Основой применения графов для решения логических задач служит выявление и последовательное исключение возможностей, заданных в условии. Это выявление логических возможностей часто может быть истолковано с помощью построения и рассмотрения соответствующих графов.
Любая географическая карта является многоугольным графом, в котором страны будут гранями, границы – ребрами, а окружающий страны
Мировой океан – бесконечной гранью.
Для лучшего зрительного восприятия необходимо, чтобы страны с общей границей были раскрашены в разные цвета. Такую карту называют "правильно" раскрашенной.
Широко известное предположение состоит в том, что каждая карта может быть раскрашена с соблюдением требуемых условий при помощи четырех красок. Этому вопросу уделяется большое внимание в популярной литературе, и здесь мы не будем останавливаться на его рассмотрении.
Задачи на проведение эйлеровых линий без повторений и без отрыва карандаша от бумаги являются одним из математических развлечений. При решении подобных задач необходимо помнить следующее положение. Для того, чтобы на графе имелась цепь, соединяющая АА и ВВ, содержащая все его ребра в точности по одному разу, необходимо и достаточно, чтобы АА и ВВ были единственными нечетными вершинами, т. е. вершинами с нечетной степенью.
ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ В РАЗЛИЧНЫХ
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|