Дифракция Фраунгофера на одной щели

Наибольший практический интерес представляют дифракционные явления, наблюдаемые при падении на экран или отверстие в экране параллельного пучка света. В результате дифракции пучок утрачивает параллельность, то есть появляется свет, распространяющийся в направлениях, отличных от первоначального. Распределение его интенсивности на очень большом расстоянии от экрана соответствует дифракции Фраунгофера. Волны, возникающие в результате ограничения падающей плоской волны при прохождении сквозь отверстие на экране, называются дифрагировавшими, а нормали к их волновым поверхностям – дифрагировавшими лучами.

Дифрагировавшие лучи не существуют в рамках геометрической оптики. Возникновение дифрагировавших волн при прохождении через отверстие означает, что волна с ограниченной площадью поперечного сечения не может быть строго плоской.

Рис. 3.17

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на одной щели. Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна (рис. 3.17). Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы – экран. Фронт падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу.

Распределение интенсивности света при дифракции Фраунгофера можно найти с помощью принципа Гюйгенса–Френеля. Интенсивность в точке экрана Р обусловлена интерференцией вторичных волн, исходящих от всех элементарных участков щели. Причем эти волны распространяются в одном и том же направлении, характеризуемом углом j. Заметную интенсивность имеют при этом лишь волны, дифрагировавшие на малые углы.

Когда размеры отверстия велики по сравнению с длиной волны, напряженность поля на поверхности, совпадающей с плоскостью щели, можно считать такой же, какой она была в отсутствии экрана.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны шириной . Каждая такая зона становится источником вторичных волн. Вторичные волны, посылаемые этими зонами в направлении, определяемом углом j, соберутся в точке экрана Р. Каждая волна, испущенная элементарной зоной, создаст в точке Р колебание . Линза собирает в фокальной плоскости плоские волны. Поэтому амплитуда волны не зависит от расстояния до точки наблюдения. Ограничившись рассмотрением малых углов j, можно считать, что коэффициент . Тогда амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь зоны пропорциональна ее ширине . Следовательно, колебания от каждой полоски имеют одинаковую амплитуду и отстают по фазе от колебания, создаваемого соседней полоской на одну и ту же величину , зависящую от угла дифракции .

Чтобы найти значение , проведем плоскость АВ, перпендикулярную к направлению дифрагировавших лучей (рис. 3.18). Собирающая линза обладает свойством, называемым таутохронностью: если свет по двум разным путям распространяется за одно и то же время, то пути называются таутохронными, то есть оптические длины этих путей равны между собой. Условию таутохронизма удовлетворяют все пути лучей, проходящих через линзу. Следовательно, линза не вносит дополнительной разности хода для дифрагировавших волн. Таким образом, достаточно определить разность хода , возникающую на пути от плоскости щели до плоскости АВ. Величина связана с разностью хода соотношением . Тогда, как видно из рис. 3.18, .

Задачу о дифракции Фраунгофера на одной щели можно решить графическим методом. При разность фаз , и векторная диаграмма имеет вид прямой (рис. 3.19), при этом амплитуда колебания в центре экрана .

Если разность фаз между колебаниями от краев щели равна , то результирующая амплитуда колебаний в точке P представляет диаметр полуокружности, длина которой равна (рис. 3.20). Следовательно, в этом случае , а интенсивность в таком направлении соответственно . Следующий максимум получается, когда строго последовательно мы обойдем полторы окружности. Тогда диаметр , интенсивность этого максимума , и т.д. Относительная интенсивность максимумов получается равной , то есть интенсивность максимумов быстро уменьшается.

Если колебания от краев щели имеют разность фаз , то результирующая амплитуда равна нулю, так как ломаная линия в этом случае замыкается (рис. 3.21). Отсюда следует, что первый минимум получается при . Следовательно, первый минимум можно наблюдать под углом, для которого . Можно показать, что основная часть потока энергии за щелью сосредоточена в этих пределах изменения угла дифракции.

Результирующая амплитуда будет равна нулю и тогда, когда разность фаз от краев щели равна , где – целое число. Цепочка векторов в этом случае замыкается после оборотов. Следовательно, условие минимума интенсивности при дифракции Фраунгофера на одной щели имеет вид

,

(3.11)

где n принимает значения .

Рис. 3.22

Из формулы (3.11) видно, что , то есть дифракционная картина симметрична относительно центра линзы. График зависимости интенсивности от угла дифракции представлен на рис. 3.22. По оси абсцисс отложены значения , по оси ординат – интенсивность .

Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели к длине волны . Модуль не может превысить единицу, поэтому из условия минимума следует, что , откуда . При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.

Поскольку положение максимумов и минимумов зависит от длины волны , то дифракционная картина имеет описанный вид только для монохроматических волн. В случае белого света мы имеем совокупность соответствующих картин для разных цветов, сдвинутых одна относительно другой в соответствии с различием в длине волны. Центральный же максимум будет общим для всех длин волн. Ближе к центру располагаются максимумы, соответствующие более коротким волнам. Длинноволновые максимумы расположены дальше, чем коротковолновые.

Пусть свет падает на щель под углом к нормали (рис. 3.23). Тогда разность хода между лучами от краев щели шириной b составляет , поэтому условие дифракционного минимума будет иметь вид . Центральный максимум будет наблюдаться в направлении , то есть в направлении падающей волны.

Пусть плоская волна падает на две одинаковые параллельные щели, ширина щели равна b, а ширина непрозрачного промежутка – a (рис. 3.24). Если волны, идущие в точку наблюдения от разных щелей, некогерентны, то на экране они дают одинаковые накладывающиеся друг на друга дифракционные картины, вследствие чего интенсивность в максимумах возрастет в два раза.

Если волны, идущие от разных щелей, когерентны, то дифракционная картина усложняется вследствие взаимной интерференции волн от первой и второй щелей.

В направлениях, удовлетворяющих соотношению (3.11), будут, как и при дифракции на одной щели, минимумы интенсивности, так как в этих направлениях ни одна из щелей не посылает света. Кроме того, возможны направления, в которых свет, посылаемый двумя щелями, взаимно уничтожается. Положение этих добавочных минимумов определится условием:

,

(3.12)

где , .

Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн, то волны, идущие от разных щелей, усиливают друг друга и дают максимумы интенсивности. Направления, соответствующие максимумам интенсивности, определятся условием:

,

(3.13)

где

Таким образом, из (3.12) и (3.13) видно, что между двумя главными максимумами располагается один добавочный минимум, а максимумы становятся более узкими, чем при дифракции на одной щели. Увеличение числа щелей делает это явление еще более отчетливым.

Дифракционная решетка

Практический интерес представляет случай, когда в экране имеется большое число N одинаковых отверстий. При регулярном расположении отверстий, когда их ориентация и расстояние между ними одинаковы, разность фаз между волнами, дифрагировавшими от соседних отверстий, имеет определенное значение. Интерференция этих волн существенно влияет на дифракционную картину. Особый интерес представляет дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке.

Дифракционная решетка представляет собой плоскую стеклянную или металлическую поверхность, на которой нарезано очень много прямых равноотстоящих штрихов. Рассмотрим простейшую идеализированную решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих параллельных щелей, сделанных в непрозрачном экране. Ширину щели обозначим через b, ширину непрозрачной части между двумя соседними щелями – через a. Величина называется периодом решетки.

В решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифракционных пучков света, исходящих от щелей решетки при ее освещении. Дифракционная картина наблюдается по методу Фраунгофера, то есть либо на бесконечно удаленном экране, либо в фокальной плоскости линзы, поставленной на пути дифрагированного света.

Расположим параллельно решетке собирающую линзу, в фокальной плоскости которой поставим экран (рис. 3.25). Для простоты будем считать, что на решетку падает нормально плоская световая волна. Если колебания, приходящие в точку P от различных щелей, некогерентны, результирующая картина от N щелей будет отличаться от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возрастут в N раз. Картина от всех щелей придется на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы).

Если колебания от различных щелей являются когерентными, то результирующая интенсивность будет отличаться от ( – интенсивность, создаваемая одной щелью в направлении угла ). Каждая из щелей решетки посылает свет по всем направлениям, кроме тех, которые удовлетворяют условию (3.11). Следовательно, условие минимума для одной щели является также условием минимума для всей решетки.

Как видно из рис. 3.25, результирующее колебание в точке P, положение которой определяется углом , представляет собой сумму N колебаний с одинаковой амплитудой, сдвинутых друг относительно друга по фазе на одну и ту же величину . Если , что соответствует разности хода от двух соседних щелей , то волны от всех щелей при интерференции дадут максимум интенсивности. Места, в которых наблюдается интенсивность, определяемая формулой , называются главными максимумами. Таким образом, условие, определяющее положение главных максимумов, имеет вид , или

, .

(3.14)

Число m дает порядок главного максимума. Поскольку амплитуда световых колебаний в главных максимумах пропорциональна числу щелей, то интенсивность в максимумах пропорциональна квадрату числа щелей, то есть

.

(3.15)

Равенство (3.14) является основной формулой дифракционной решетки. Оно справедливо для любого количества щелей. Из (3.15) следует, что главные максимумы имеют значительную интенсивность. Как видно из (3.14), их положение не зависит от общего числа щелей: в направлениях, удовлетворяющих условию (3.14), векторы напряженности от всех щелей складываются на экране в одинаковой фазе. Направление соответствует центральному максимуму нулевого порядка. Относительно него симметрично располагаются максимумы более высоких порядков.

Можно показать, что между двумя главными максимумами располагаются добавочных минимумов, положения которых зависят от количества щелей. При световые векторы от разных щелей и при интерференции гасят друг друга,если соответствующие лучи от обеих щелей имеют разность хода (рис. 3.26). При гашение произойдет, если фазы колебаний векторов отличаются на , то есть при разности хода Следовательно, для решетки с тремя щелями между соседними главными максимумами располагаются по два добавочных минимума. Для решетки с N щелями направления добавочных минимумов интенсивности определяются условием:

,

(3.16)

где , то есть принимает все целочисленные значения, кроме , то есть кроме тех, при которых условие (3.15) переходит в условие главного максимума (3.14).

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно . Наибольшей интенсивностью обладают вторичные максимумы, ближайшие к главным максимумам.

С увеличением числа щелей растет число добавочных минимумов, а главные максимумы становятся уже и ярче. При наблюдении картины, даваемой дифракционной решеткой, отчетливо видны только главные максимумы, разделенные практически темными промежутками, поскольку интенсивность вторичных максимумов очень мала, интенсивность самого сильного из них составляет не более 5 % от интенсивности ближайшего главного максимума.

График распределения интенсивности при дифракции на решетке с числом щелей и представлен на рис. 3.28.

Рис. 3.28

Кривая, проходящая через вершины главных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на . При выбранном отношении периода решетки к ширине щели главные максимумы 3-го, 6-го и так далее порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают. В общем случае из условий для минимумов при дифракции на одной щели (3.11) и главных максимумов (3.14) вытекает, что главный максимум m-го порядка придется на n-й минимум от одной щели, если будет выполнено равенство или . Это возможно, если отношение равно отношению двух целых чисел.

Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решетки к длине волны . Модуль не может превышать единицу. Поэтому из условия для главных максимумов (3.14) получаем .

Положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный – наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Причем дифракционная решетка сильнее всего отклоняет красные лучи. Зная постоянную решетки d и измерив на опыте угол дифракции , под которым находится максимум известного порядка m, можно из условия главного максимума определить длину волны . Таким образом, дифракционная решетка разлагает сложный свет в спектр, и, следовательно, представляет собой оптический прибор, предназначенный для анализа спектрального состава электромагнитного излучения.

На рис. 3.29 приведена схема устройства дифракционного спектроскопа. Коллиматор c щелью посылает на дифракционную решетку параллельный пучок света. Дифрагировавшие лучи света попадают в зрительную трубу , с помощью которой можно наблюдать различные участки дифракционного спектра. Меняя положение зрительной трубы, можно вывести в поле зрения различные участки спектра. По измеренному углу дифракции и известному периоду решетки можно с помощью формулы (3.14) рассчитать длины волн, соответствующие отдельным линиям спектра.

Рассмотрим основные характеристики дифракционной решетки как спектрального прибора: разрешающую способность и угловую дисперсию.

Разрешающая способность. Если в спектре присутствуют две линии, длины волн которых и незначительно отличаются, то возможность их раздельного восприятия определяется угловым расстоянием между максимумами интенсивности и их шириной. Ширина главного максимума зависит от полного числа щелей решетки. При малом N максимумы размыты, и, если они расположены близко друг к другу, сливаются. Результирующая интенсивность при этом может иметь разный вид, представленный на рис. 3.30. В случае а оба максимума воспринимаются как один. В случае б между максимумами лежит минимум.

Рис. 3.30

Два близких максимума воспринимаются глазом раздельно в том случае, если интенсивность в промежутке между ними составляет не более 80 % от интенсивности максимума. Согласно критерию, предложенному Рэлеем, такое соотношение интенсивностей имеет место в том случае, если середина одного максимума совпадает с краем другого. Такое взаимное расположение максимумов получается при определенном для данной решетки .

Положение середины m-го максимума для длины волны определяется условием: . Края m-го максимума для длины волны определяются условием (рис. 3.31).

Рис. 3.31

Середина максимума для длины волны совпадает с краем максимума для длины волны в том случае, если . Отсюда получим:

. (3.16)

Разрешающей способностью спектрального прибора называют безразмерную величину , где – минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно. Разрешающая способность дифракционной решетки из (3.16) определится как , то есть она пропорциональна числу щелей и порядку спектра.

Угловая дисперсия. Дисперсия определяет разделение спектральных линий, отличающихся по длине волны на единицу. Когда это разделение линий измеряют в угловых единицах, то говорят об угловой дисперсии.

Рис. 3.32

Угловая дисперсия , где – угол между направлениями распространения волн, отличающихся по длине волны на (рис. 3.32). Из условия для главного максимума (3.14) видно, что угловое расстояние между максимумами увеличивается с уменьшением постоянной решетки. Таким образом, угловая дисперсия дифракционной решетки тем больше, чем меньше период решетки и чем больший порядок спектра получается с ее помощью.

Рис. 3.33

На практике, как правило, работают со спектрами первого порядка, так как они наиболее яркие и не перекрываются со спектрами более высокого порядка. Поэтому целесооб-разно пользоваться решетками с малым периодом.

Отражательная дифракционная решетка.Посмотрите на обычный компакт-диск (рис. 3.33). Оказывается, он может работать и как оптический прибор – дифракционная решетка. Концентрические дорожки, на которых записаны данные, расположены друг к другу настолько близко, что на них происходит дифракция отраженного света. При этом лучи разных цветов дифрагируют по-разному, и на диске можно видеть спектр падающего света.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: