Продолжение контрольной работы №1.
Средняя гармоническая.
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.
Пример 6.
Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.
На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:
Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:
все затраченное время
Среднее время, затраченное = --------------------------------------
на одну деталь число деталей
Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:
Это же решение можно представить иначе:
Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:
Пример 7.
Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуются следующими данными:
Таблица 5.5.
Номер завода
| Издержки производства, тыс.руб.
| Себестоимость единицы продукции, руб.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исчислим среднюю себестоимость изделия по трем заводам. Как и прежде, главным условием выбора формы средней является экономическое содержание показателя и исходные данные.
Издержки производства
Средняя себестоимость = ----------------------------------------
единицы продукции ( ) Количество продукции
руб.
Таким образом, формулу для расчета средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде:
Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода и медиана.
Мода.
Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.
Пример 8.
Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:
размер обуви
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| и выше
| число пар, в % к итогу
| —
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| —
|
В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер обуви пользовался наибольшим спросом покупателей.
Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:
где - начальное значение интервала, содержащего моду;
- величина модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего модальному;
- частота интервала, следующего за модальным.
Пример 9.
Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:
Таблица 5.6.
Группы предприятий по числу работающих, чел
| Число предприятий
| 100 — 200
|
| 200 — 300
|
| 300 — 400
|
| 400 — 500
|
| 500 — 600
|
| 600 — 700
|
| 700 — 800
|
| ИТОГО
|
|
В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.
Введем следующие обозначения:
=400, =100, =30, =7, =19
Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:
Медиана
Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).
Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8, 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана - 7 лет. По обе стороны от нее находится одинаковое число рабочих.
Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Пусть теперь будет не пять человек в бригаде, а шесть, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 6 и 7. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:
Ме = (6 + 7) / 2 = 6,5 лет.
Рассмотрим пример расчета медианы в дискретном ряду.
Пример 10.
Определим медиану заработной платы рабочих.
Таблица 5.7.
Месячная з/п , руб.
| Число рабочих
| Сумма накопительных частот
|
|
|
|
|
| 8 (2+6)
|
|
| 24 (8+16)
|
|
| —
|
|
| —
|
|
|
|
Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила ее половина - 20.
Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 160 руб., и есть медиана ряда.
Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.
Пример 11.
Таблица 5.8.
Месячная з/п, руб.
| Число рабочих
| Сумма накопительных частот
|
|
|
|
|
| 8 (2+6)
|
|
| 20 (8+12)
|
|
| —
|
|
| —
|
|
|
|
Медиана будет равна:
Ме = (150 + 170) / 2 = 160 руб.
Рассмотрим расчет медианы в интервальном вариационном ряду.
Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле
где — начальное значение интервала, содержащего медиану;
— величина медианного интервала;
— сумма частот ряда;
— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
— частота медианного интервала.
Пример 12.
Таблица 5.9.
Группы предприятий по числу рабочих
| Число предприятий
| Сумма накопительных частот
| 100 — 200
|
|
| 200 — 300
|
| 4 (1+3)
| 300 — 400
|
| 11 (4+7)
| 400 — 500
|
| 41 (11+30)
| 500 — 600
|
| —
| 600 — 700
|
| —
| 700 — 800
|
| —
| ИТОГО
|
|
|
Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.
Известно, что:
Следовательно,
.
Продолжение контрольной работы №1.
По данным о распределении предприятий региона по товарообороту (табл. 5.10.) определите:
- средний объем товарооборота;
- моду;
- медиану.
По всем расчетам сделать выводы. Данные каждого расчета оформить в виде таблиц.
Таблица 5.10.
Группы предприятий по объему товарооборота, млн.руб.
| Число предприятий
| до 400
|
| 400 — 500
|
| 500 — 600
|
| 600 — 700
|
| свыше 700
|
| ИТОГО
|
|
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|