Закон независимости действия сил
Ускорение, получаемое точкой под действием системы сил, равно геометрической сумме ускорений, которое она получила бы под действием каждой из сил в отдельности.
Этот закон позволяет записать основной закон динамики для случая, когда на точку действует несколько сил:
, (1)
где , ускорение, получаемое точкой под действием силы .
Основное уравнение динамики в декартовых
И естественных осях
Спроектируем уравнение (1) на декартовые оси координат.
, но . Тогда
Это и есть основные уравнения динамики в декартовых осях. Часто эти уравнения называют дифференциальными уравнениями движения точки. Если уравнение (1) спроектировать на естественные оси координат ( ), то получим
но , Тогда
Это и есть основные уравнения динамики в естественных осях.
Решение первой задачи динамики
Первая задача динамики (прямая) заключается в том, что по известной массе точки и закону её движения требуется определить неизвестную силу, действующую на эту точку.
Очевидно, для решения этой задачи необходимо уметь брать производную.
Последовательность решения задач динамики:
1. Нарисовать чертёж (схему).
2. Приложить к материальной точке активные силы и реакции связей.
3. Показать направление движения точки и выбрать оси координат. Одну из осей необходимо направить по скорости. Если в задаче дан радиус кривизны траектории, или известно, что точка движется по окружности, то это говорит о том, что при решении задачи следует использовать естественные оси координат.
4.Записать основное уравнение динамики в проекции на выбранные оси и определить неизвестные.
Решение второй задачи динамики
Вторая задача динамики (обратная) заключается в том, что по известной массе точки и силам, действующим на неё, требуется определить закон движения точки.
Решение этой задачи требует умения решать дифференциальные уравнения.
При решении второй задачи динамики могут встретиться следующие случаи:
1. F = const;2. F = f(t); 3. F = f(v); 4. F = f(x); 5.F = f(x;v).
Для решения задачи необходимо один или два раза проинтегрировать уравнения движения точки. В случае прямолинейного движения точки интегрируют одно уравнение, записанное в проекции на ось x, совпадающую с направлением скорости. При этом, если по условию задачи требуется определить время, за которое точка приобретет известную скорость или пройдет известное расстояние, ускорение представляют в виде . Если по условию задачи требуется определить зависимость пути от скорости или скорости от пройденного расстояния, то бывает удобно представить ускорение в виде .
Дифференциальное уравнение относительного движения точки
Иногда при решении задач бывает удобно рассматривать движение точки по отношению к подвижной системе отсчета. Если точка совершает сложное движение, то по теореме о сложении ускорений абсолютное ускорение есть геометрическая сумма переносного, относительного и кориолисова ускорения, т.е.
. (2)
Подставив (2) в (1), получим (3)
Обозначим , . Тогда формула (3) с учетом обозначений примет вид .
Это и есть дифференциальное уравнение относительного движения точки. дифференциальное уравнение относительного движения точки ни чем не отличается от основного уравнения динамики, если к силам, действующим на точку, добавить переносную и Кориолисову силы инерции. Если переносное движение является поступательным, прямолинейным и равномерным, то и . В этом случае дифференциальное уравнение относительного движения будет совпадать с основным уравнением динамики. Это говорит о том, что система отсчёта, двигающаяся относительно неподвижной поступательно, равномерно и прямолинейно, является инерциальной.
Свободные колебания
Свободными называются колебания точки, происходящие под действием только восстанавливающей силы. Сила называется восстанавливающей, если она все время стремится вернуть точку в положение равновесия. Примером восстанавливающей силы является сила упругости пружины. Если восстанавливающая сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия, то она называется линейной восстанавливающей силой.
Пусть на точку М массой m действует линейная восстанавливающая сила упругости (рис. 2): Fупр = сΔ, где с – жесткость пружины (физический смысл жесткости - это сила, необходимая для деформации пружины на единицу длины), в Н/м; Δ – деформация пружины, м.
На рис. 2 l0 – длина недеформированной пружины. Выбрав начало координат в положении равновесия –т. О, запишем основное уравнение динамики в проекции на ось x: , или .
Отсюда получим (4)
Выражение (4) – это и есть уравнение свободных колебаний точки. Здесь называется круговой частотой колебаний (физический смысл: число колебаний за 2π секунд), с-1. Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет вид:
. (5)
Взяв производную по времени, имеем
. (6)
Постоянные интегрирования С1 и С2 найдем из начальных условий:
при . (7)
Подставив (7) в (5) и (6), находим .
С учетом этого решение (5) принимает вид:
. (8)
Решение (8) можно записать в виде:
, (9)
где - амплитуда колебаний, м; - начальная фаза колебаний, рад.
Из (9) видно, что свободные колебания являются гармоническими. Период колебаний можно найти по формуле:
. (10)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|