Показательный закон распределения
Опр.3.Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью: f(x) = 0 при х < 0 и f(x) = λ∙exp( – λ∙x) при х ≥ 0, где λ – постоянная положительная величина.
Функция распределения показательного закона: F(x) = 0 при х < 0 и F(x) = 1 – exp( – λ∙x) при х ≥ 0.
Вероятность попадания в интервал (a, b) непрерывной случайной величины Х, распределённой по показательному закону, P(a < Х < b) = exp( – λ∙a) – exp( – λ∙b).
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны: M(X) = 1/ λ, D(X) = 1/ λ2, σ(X) = 1/λ.
16 Нормальное распределение (гауссово распр-е): возникает тогда, когда на параметры случ-ой вел-ны влияют факторы, в сумме кот-рые изменяют параметры Х, но со временем всё вернётся и станет нормальным
Опр.1. Случайная вел-на Х распределена нормально с математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением σ: f(x) = 1/σ ∙
Теорема 1: MXN=m
Теорема 2: DXN=σ 2
Опр.2 Нормальное распределение с параметром N(0,1) наз-ся стандартным нормальным распределением.
; Т.о. случ-я вел-на z имеет станд. нормалное распределение
Вероятность попадания случайной величины между точками a и b для нормального распределения:
— функция Лапласа
Свойства ф-ии Лапласа: 1)Ф(-х)= –Ф(х) => нечётная; 2) ; 3) ; 4) x 5 => Ф(х) 1/2
18. Локальная теорема Муавра-Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), приближённо равна (тем точнее, тем больше n): Pn(k) = 1/ ∙ φ(x). Здесь:φ(x) = 1/√2π ∙ exp( –x2/2 ), x = (k – np) /
φ(x) – плотность нормального распределения.
1) npq>9
2) φ(x) – по таблице
В случае, когда p q 0,5 рассчёты по этой ф-ле и по ф-ле Бернулли практически совпадают
Интегральная теорема Муавра-Лапласа:Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближённо равна: P(k1; k2) = Ф(x'') – Ф(x'). Здесь: Ф(x) = 1/√2π ∙ ∫х0 exp( – t2/2 ) dt – функция Лапласа, x'' = (k2 – np) / , x' = (k1 – np) / . Функция Лапласа для положительных значений х (0 ≤ х ≤ 5) — по таблице, для значений х > 5 полагают Ф(х) = 0.5
19.Неравенство Чебышева:Если случайная величина имеет конечную дисперсию, то для любого положительного числа : P(|X – M(X)| ≥ ) < D(X)/ .
Или в другой форме: P(|X – M(X)| ,< ) ≥ 1 – D(X)/ ,
Теорема Чебышева:Если последовательность независимых случайных величин Х1, Х2, Х3, … Хn имеет конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной: D(Xi) < C, тогда для любого положительного числа справедливо рав-во: lim n→∞ Р( | 1/n ∑ni=1 Xi – M(X) | < ) = 1.
Док-во: Утвер: Для независимых случ. вел-н дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.
Тогда , , ,
20. Вариационный ряд – список вариант строго в порядке их возрастания. Например: 1,2,5,7,8.
Статистическим рядом распределения называется таблица, аналог закона распределения дискретной величины с заменой вероятности на относительную частоту.
X
| x1
| x2
| …
| xm
| p*
| n1/n
| n2/n
| …
| nm/n
| Здесь n – объём выборки, xi – выборочные значения соответствующего параметра.
Эмпирическая функция распределения: F*(x) = nx/n, где nx – число вариант, меньших х, n – объём выборки
Опр.11. Гистограммой частот (относит-ых) наз-ют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основанием кот-ых служит интервал длины h, а высоты равны
Опр.12. Полигоном частот (относит-ых) наз-ся график, в кот-ом по горизонтали отложены значения вариант, а по вертикале – относит-ой частоты, и точки пересечения соединятся ломаной.
21 Выборочное среднее наз-ся средняя арифметическая значений вариант выборки
Опр.14. Генеральная средняя – средняя арифметическая вариант дискретной генеральной совок-ти N. P{X=xi}=1/N
Генеральная средняя равна матем. ожиданию
Опр.15. Выборочной дисперсией наз-ся среднее арифметич. Квадратов отношений вел-ны от их среднего значения
Опр.16. Выборочным средним квадратичным отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии:
Опр.17.Модой выборки наз-ся вариант с наибольшей частотой
Опр.18. Медианой выборки наз-ся её серединное значение. Если объём выборки нечётный, то медиана – серединное значение. Если объём чётный, то берётся среднее арифметическое значение 2-х центральных вариант.
Основные понятия теории оценок
Опр.1. Любая ф-ия от выборки (числовая) наз-ся статистикой. —статистика
Задача оценки параметра а состоит в том, чтобы подобрать статистику , кот-я в некотором смысле была бы близка к оцениваемому параметру
Опр.2. Если с ростом объёма выборки n оценка сколь угодно близко приближается к оцениваемым параметрам а, то такая оценка наз-ся состоятельной
Опр.3. Оценка нас волнует такая, что её матем. ожидание равно оцениваемому параметру, наз-ся несмещённой. — несмещённая оценка.
Если это не так, то оценка смещённая.
Теор. (о состоя-ти оценки): Если оценка –несмещённая оценка параметра а, т.е и её дисперсия стремится к 0 с увеличением объёма выборки, т.е. , то такая оценка будет состоятельной.
Док-во: Воспользуемся нер-вом Чебышева: . Возьмём произвольное . . Перейдём к пределам: . С вероятностью 1 будет противоположное нер-во. Теорема док-на
Опр.4. Несмещённая оценка параметра а наз-ся эффективной, если её дисперсия наименьшая по сравнения с дисперсией любой другой несмещённой оценки.
Опр.5. Оценку наз-ют точечной ,если она определяется одним числом.
Оценка вер-ти случайного события А
Проведём серию из n независимых опытов Х – число появления события А в этих опытах — индикатор события А. — число успехов
По теореме Бернулли, возьмём в качестве оценки относит-ую частоту
Теорема: Оценка ,равная относит. частоте = x / n явл-ся состоятельной, несмещённой и эффективной.
22. Статистическая оценка – любая функция от выборки. Свойства статистической оценки:
1. Несмещенность
2. Состоятельность
3. Эффективность
Теорема: Оценки и – несмещенные, а оценка – состоятельная.
Доказательство: Сначала докажем несмещенность оценок. Нужно проверить, что M =a, M =σ .
По определению имеем
M =M = =a.
Далее,
M = , где
Выполним тождественные преобразования:
= = =
Далее воспользуемся тем, что MX = σ +a , и при M (X X )=MX ·MX ( случайные величины X и X независимы)
= σ +a )– =(1– ) σ , то есть M =σ .
Докажем состоятельность оценки . Для этого вычислим D :
D = → 0.
Если D и M → 0, то – состоятельная оценка параметра x.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|