Уравнение прямой, заданной двумя точками
Глава II. «Элементы аналитической геометрии»
§ 1. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Модуль вектора. Умножение вектора на число
Определение. Отрезок называется направленным (рис. 2.1), если указан порядок, в котором заданы концы отрезка.
Обозначение: . А В
Рис. 2.1
Определение. Длиной направленного отрезка называется длина отрезка АВ.
Обозначение:
Определение. Ненулевые отрезки и называются одинаково (противоположно) направленными, если одинаково (противоположно) направлены лучи АВ и СD.
Обозначение: ( ¯ ).
Определение. Вектором называется множество всех одинаково направленных отрезков, имеющих равные длины. Каждый из этих направленных отрезков называется представителем вектора.
Определение. Два вектора и называются одинаково (противоположно) направленными, если одинаково (противоположно) направлены какие-либо два представителя этих векторов.
Определение. Пусть заданы два вектора и . Направленный отрезок определяет вектор , который называется суммой векторов и .
= +
B
А С
Рис. 2.2
Правило треугольника: (рис. 2.2).
Откладывая векторы последовательно, можно найти сумму любого количества векторов, используя правило многоугольника (рис. 2.3).
D E
C
A B
Рис. 2.3
(рис. 2.3).
Для любых векторов :
1) + = + — коммутативность сложения;
2) — ассоциативность сложения.
Определение. Разностью векторов и называется такой вектор , что , .
Из треугольника ABC (рис. 2.4): .
B
А С
Рис. 2.4
Правило параллелограмма: (рис. 2.5).
В С
А D
Рис. 2.5
Определение. Произведением вектора на действительное число a называется вектор , удовлетворяющий условиям:
1. ; 2. , если a ³ 0, , если a < 0.
Теорема. Для любых векторов и для любых действительных чисел a и b выполняются равенства:
1. ; 2. ;
3. ; 4. .
Определение. Векторы и называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.
Теорема. Пусть . Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т. е. .
Теорема. Пусть . Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю, т. е. .
Определение. Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам в прямоугольной системе координат называются координатами вектора .
Обозначение: .
Координаты вектора можно вычислить, зная координаты начала и конца этого вектора, т. е. если и , то .
Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: или , = .
Теорема. Длина вектора ( ) в прямоугольной системе координат (О, ) вычисляется по формуле .
Скалярное произведение = называется скалярным квадратом вектора , причем = . Таким образом, .
Теорема. Скалярное произведение векторов ( ) и , заданных в прямоугольной системе координат (О, ), выражается формулой = .
Условие перпендикулярности векторов и :
= 0, или в координатах: .
Косинус угла между ненулевыми векторами вычисляется по формуле:
сos ( , )= или сos ( , ) = .
Примеры решения задач
1. Пусть АВСD — параллелограмм, О — точка пересечения диагоналей. Е, F — середины параллельных сторон ВС и АD. Построить на чертеже векторы:
а) . К
В С
А D
Рис. 2.6
, где (рис. 2.6).
б) .
В Е С
А F D
Рис. 2.7
(рис. 2.7).
в) . В С
О
А D
Рис. 2.8
(рис. 2.8).
г) .
(рис. 2.9).
В С
О
А D
Рис. 2.9
д) .
В Е С
О
А F D
Рис. 2.10
(рис. 2.10).
е) В Е С
О
А D
К
Рис. 2.11
= где (рис. 11).
2. По данным векторам и построить вектор .
Решение
Отложим векторы и от одной точки (рис. 2.12): .
Построим . По правилу параллелограмма , поэтому .
В С
В1
О А А1
Рис. 2.12
3.В ромбе ABCD (рис. 2.13) выразить векторы через векторы и .
Решение
Рис. 2.13
4. Найти скалярное произведение векторов и выяснить, являются ли они перпендикулярными.
Решение
, следовательно, векторы и перпендикулярны.
5.На плоскости даны векторы (–1; 5), (3; 5), (–2; 8), (3; 1). Вычислить .
Решение
= ((–1; 5) – (3; 5))∙((–2; 8) –(3; 1)) = (–4; 0)∙(–5; 7) = =(–4)(–5) = 20.
6.Какой угол образуют единичные векторы и , если известно, что векторы и перпендикулярны?
Решение
=0 . Учитывая, что , получим
.
Таким образом, имеем .
§ 2. Деление отрезка в данном отношении. Вычисление расстояния между точками. Косое произведение векторов. Площадь треугольника
Если , то .
— формула для вычисления длины вектора или расстояния между точками М1 и М2.
Определение. Точка М делит отрезок в отношении , причем , если .
Если и М (х, у) точка делит отрезок М1М2 в отношении , то
.
Для середины отрезка .
Определение. Косым произведением векторов и называется произведение длин этих векторов на синус угла между ними, т. е. .
Косое произведение в координатах вычисляется по формуле = .
Примеры решения задач
1. Найти точку М пересечения медиан треугольника АВС (рис. 2.14), если А(1; 4), В(–5; 0), С(–2; –1).
Решение
Рис. 2.14
D — середина BС , .
Используя свойство медиан треугольника, получим . Если М(х,у), то
.
2. Найти площадь треугольника АВС, если А(2;1), В(3;4) и С(1;6).
Решение
. Используя определение косого произведения векторов, получим, что . .
, следовательно, .
§ 3. Различные способы задания прямой
Пусть d — некоторая прямая.
Определение. Каждый ненулевой вектор , параллельный прямой d или лежащий на данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим векторому
M
M0
M1
O х
Рис. 2.15
Прямая d вполне определяется точкой и направляющим вектором || d (рис. 15). Так как , где , то уравнение прямой можно записать в виде
, (1)
. (2)
— каноническое уравнение (3)
Уравнения (1)—(3) — различные виды уравнений прямой .
Уравнение прямой, заданной двумя точками
Как известно, через две данные точки проходит единственная прямая. Найдем уравнение этой прямой. Пусть прямая задана двумя точками (рис. 2.15). Обозначим координаты произвольной точки М (х, у)Îd. В качестве направляющего вектора можно взять вектор и воспользоваться уравнениями (1) и (3). Запишем соответствующие уравнения:
(4) ,
(5) — каноническое уравнение прямой проходящей через две заданные точки.
Общее уравнение прямой
Различные формы записи уравнения прямой (1—5), рассмотренные нами в предыдущих пунктах параграфа, имеют в принципе один и тот же вид:
(6) ,
где А, В, С — некоторые числа.
Уравнение (6) называется общим уравнением прямой, где является направляющим вектором этой прямой.
Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный к данной прямой, называется вектором нормали данной прямой и обозначается . Коэффициенты при переменных в общем уравнении прямой являются координатами вектора нормали
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (6):
1. Если С = 0, то уравнение принимает вид и определяет прямую, проходящую через начало координат, так как ее координаты (0; 0) удовлетворяют этому уравнению (рис. 2.16)
Рис. 2.16
2. Если В = 0 (А ¹ 0), то уравнение принимает вид и определяет прямую, параллельную оси Оу (рис. 2.17). Это уравнение (при А ¹ 0) можно привести к виду или , где а — любое действительное число. В частности, если С = 0, то уравнение определяет ось ординат.
Рис. 2.17
3. Если А = 0 (В ¹ 0), то уравнение принимает вид и определяет прямую, параллельную оси Ох (рис. 2.18). Это уравнение (при В ¹ 0) можно привести к виду или , где в — любое действительное число. В частности, если С = 0, то уравнение определяет ось абсцисс.
Рис. 2.18
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|