Эксцентриситет и директриса
Пусть эллипс задан в канонической системе координат уравнением , где . Имеем . Отсюда .
Определение 62
Эксцентриситетом эллипса называется величина . Легко видеть, что и если (т.е. эллипс является окружностью), то . Выразим через и .
Рассмотрим прямую, перпендикулярную большей главной оси, проходящей через точку , где . Возьмем точку на эллипсе, координаты точки будем обозначать . Тогда расстояние от точки до прямой равно . Расстояние от точки до фокуса с координатами равно . Отношение расстояний от точки до фокуса и от точки до прямой равно . Это отношение постоянно, если . Таким образом прямая, перпендикулярная большей главной оси, отстоящая от центра эллипса на расстояние , лежащая по ту же сторону, что и фокус обладает тем свойством, что расстояние от любой точки эллипса до фокуса деленное на расстояние от этой точки до этой прямой постоянно и равно . Аналогично можно доказать, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до прямой, перпендикулярной большей главной оси, проходящей через точку постоянно и равно .
Определение 63
Директрисой эллипса, отвечающей фокусу , называется прямая, перпендикулярная большей главной оси такая, что отношение расстояний от точек эллипса до фокуса и до этой прямой постоянно и равно .
Замечание
Если эллипса является окружностью, то директрис нет.
Замечание
Если эллипс не является окружностью, то для каждого эллипса существует единственная директриса.
Замечание
У эллипса, не являющегося окружностью, существует две директрисы.
Замечание
Из выведенных уравнений директрис видно, что директрисы не пересекают эллипс.
Если уравнение эллипса в канонической системе координат , то уравнения директрис .
Докажем, что если отношение расстояний от точки до фокуса и его директрисы равно , то точка принадлежит эллипсу.
Для доказательства рассмотрим фокус . Расстояние от до равно , где - координаты точки . Расстояние от до директрисы равно . Так как отношение , то
То есть точка принадлежит эллипсу. Обозначим расстояние от фокуса эллипса до его директрисы через . Тогда
Пусть на плоскости задана прямая и точка. Тогда найдется эллипс, для которого указанная точка будет фокусом, а указанная прямая будет директрисой, соответствующей этому фокусу.
Выберем систему координат так: ось проходит через данную нам точку и перпендикулярно данной прямой. Точку пересечения оси с данной прямой обозначим через . Отметим на оси две точки и такие, что и и точка лежит между точками и . Середину отрезка обозначим через является началом координат.
Заметим, что точка лежит между точками и , так как
Длина . Длина . Найдем длину
. Обозначим . Для эллипса, заданного уравнением . Точка совпадает с фокусом, а заданная прямая совпадает с директрисой этого фокуса, т.к. уравнение этой прямой .
Уравнение эллипса в полярных координатах
Пусть эллипс задан каноническим уравнением .
- фокус с координатами , его директриса – прямая, заданная уравнением , точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда , где , - расстояние от точки до прямой . Выберем полярную ось через точки и . Тогда расстояние от точки до начала полярной системы координат . Вектор составляет угол с полярной осью. Расстояние от точки до директрисы равно , где - расстояние от фокуса до директрисы. Точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда .
Гипербола
Определение 64
Гиперболой называется множество точек плоскости таких, что абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фиксированных точек и , называемых фокусами, постоянна. Обозначим указанную разность через , а расстояние между фокусами через .
Замечание
Если и совпадают и , то точек, удовлетворяющих такому условию на плоскости нет. Если и совпадают и , то любая точка плоскости удовлетворяет указанному условию. Поэтому будем считать, что фокусы и являются разными точками.
Замечание
Обозначим расстояние от точки до через , а расстояние от до через . Так как и , то
Введем систему координат следующим образом: ось проведем через фокусы и , начало координат возьмем в центре отрезка . Ось проведем перпендикулярно оси через начало координат. Тогда координаты точки , точки . Пусть координаты . Тогда . принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда
Обозначим величину , . Тогда уравнение примет вид . Проверим, что каждая точка, удовлетворяющая уравнению принадлежит гиперболе. Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению . Тогда . Расстояние от до равно
Так как из уравнения следует, что либо либо , то
Расстояние от до равно
. Получили, что принадлежит гиперболе.
Определение 65
Уравнение вида , где называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола имеет каноническое уравнение называется канонической системой координат.
Свойства гиперболы
Пусть в канонической системе координат гипербола имеет уравнение .
1) Гипербола обладает двумя осями симметрии (главные оси). Одна ось симметрии – ось , другая – ось . Одна из осей симметрии – фокальная ось (ось, проходящая через фокусы).
2) Точка пересечения осей симметрии является точкой симметрии гиперболы.
3) Из уравнения получаем, что в полосе точек гиперболы нет.
4) Из уравнения следует, что , т.е. . Значит гипербола лежит между прямыми и , как показано на рисунке:
Определение 66
Точки пересечения фокальной оси с гиперболой называются вершинами гиперболы.
Прямые и являются асимптотами гиперболы.
Рассмотрим прямую и часть гиперболы , где . Тогда для прямой , для гиперболы
Аналогично для остальных частей гиперболы ( ) и прямой .
Определение 67
Число называется эксцентриситетом гиперболы. Так как , то .
Рассмотрим прямую , где Расстояние от точки до этой прямой равно . Расстояние от точки до фокуса равно и до точек гиперболы . Отношение расстояния от точки гиперболы до фокуса и до прямой равно . Это отношение постоянно, когда . Таким образом отношение расстояний от точек гиперболы до фокуса и от точек гиперболы до прямой постоянно и равно .
Определение 68
Прямая, перпендикулярная фокальной оси, пересекающая отрезок между фокусами и , отстоящая от фокуса на расстояние называется директрисой гиперболы для фокуса . Директриса фокуса в канонической системе координат имеет уравнение . Директриса фокуса в канонической системе координат имеет уравнение .
Проверим, что точка, для которой отношение расстояний до фокуса и до директрисы этого фокуса равно принадлежит гиперболе.
Пусть точка имеет координаты . Расстояние до фокуса равно . Расстояние до директрисы равно . Так как , то
Получили, что точка принадлежит гиперболе. Аналогично доказывается для второго фокуса.
Пусть задана прямая , точка и . Тогда найдется гипербола, для которой точка является фокусом, а прямая директрисой относительно этого фокуса, является эксцентриситетом гиперболы. Построим гиперболу. Для этого выберем систему координат. Ось проведем через перпендикулярно прямой . Точку пересечения оси и прямой обозначим через . Возьмем точку на отрезке так, чтобы и точку на оси такую, что . Точка лежит по другую сторону от , чем точка . Выберем началом системы координат середину отрезка . Обозначим начало координат . Очевидно, что точка лежит по одну сторону от прямой , что и точка (так как ). Обозначим , . Направление оси выберем так, чтобы точка имели координаты .
Получили, что или . Найдем :
Получили, что уравнение прямой имеет вид . Для гиперболы точка является фокусом, а прямая является директрисой, соответствующей этому фокусу.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|