Параметрические уравнения прямой.
Приравнивая в канонических уравнениях прямой каждую из дробей некоторому параметру t:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image889.gif)
Получим уравнения выражающие текущие координаты каждой точки прямой через параметр t.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image891.gif)
таким образом параметрические уравнения прямой имеют вид:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image893.gif)
Уравнения прямой проходящей через две заданные точки.
Пусть заданы две точки М1 (x1,y1,z1) и М2 (x2,y2,z2). Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки получаются так же, как аналогичное такое уравнение на плоскости. Поэтому сразу приведём вид этого уравнения.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image895.gif)
Прямая на пересечении двух плоскостей. Общее уравнение прямой в пространстве.
Если рассмотреть две не параллельные плоскости, то их пересечением будет прямая.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image897.gif)
Если нормальные вектора и неколенеарны.
Ниже при рассмотрении примеров мы покажем способ преобразования таких уравнений прямой к каноническим уравнениям.
5.4 Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть две прямые заданны своими каноническими уравнениями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image903.gif)
За угол между двумя прямыми примем угол между направляющими векторами.
и ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image907.gif)
Условие перпендикулярности двух прямых сводится к условию перпендикулярности их направляющих векторов и , то есть к равенству нулю скалярного произведения: или в координатной форме: .
Условие параллельности двух прямых сводится к условию параллельности их направляющих векторов и ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image913.gif)
5.5 Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть заданы уравнения прямой:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image921.gif)
и плоскости . Углом между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость (Рис 5.5).
Рис 5.5
В случае перпендикулярности прямой к плоскости направляющий вектор прямой и нормальный вектор к плоскости коллинеарны. Таким образом, условие перпендикулярности прямой и плоскости сводится к условию коллинеарности векторов
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image937.gif)
В случае параллельности прямой и плоскости их указанные выше вектора взаимно перпендикулярны. Поэтому условие параллельности прямой и плоскости сводится к условию перпендикулярности векторов ; т.е. их скалярное произведение равно нулю или в координатной форме: .
Ниже рассмотрены примеры решения задач, связанных с темой главы 5.
Пример 1:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1,2,4) перпендикулярную прямой, заданной уравнением:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image943.gif)
Решение:
Воспользуемся уравнением плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.
А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0
В качестве точки возьмём точку А (1,2,4), через которую проходит по условию плоскость.
Зная канонические уравнения прямой, мы знаем вектор, параллельный прямой .
В силу того, что по условию прямая перпендикулярна искомой плоскости, направляющий вектор может быть взят в качестве нормального вектора плоскости.
Таким образом уравнение плоскости получим в виде:
2(х-1)+1(у-2)+4(z-4)=0
2х+у+4z-16=0
2х+у+4z-20=0
Пример 2:
Найти на плоскости 4х-7у+5z-20=0 такую точку Р, для которой ОР составляет с осями координат одинаковые углы.
Решение:
Сделаем схематический чертёж. (Рис. 5.6)
z
Р
у
х
Рис 5.6
Пуст точка Р имеет координаты . Так как вектор составляет одинаковые углы с осями координат, то направляющие косинусы этого вектора равны между собой
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image957.gif)
Найдём проекции вектора :
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image959.gif)
тогда легко находятся направляющие косинусы этого вектора.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image961.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image963.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image965.gif)
Из равенства направляющих косинусов следует равенство:
хр=ур=zр
так как точка Р лежит на плоскости, то подстановка координат этой точки в уравнение плоскости обращает его в тождество.
4хр-7хр+5хр-20=0
2хр=20
хр=10
Соответственно: ур=10; zр=10.
Таким образом искомая точка Р имеет координаты Р(10;10;10)
Пример 3:
Даны две точки А (2,-1,-2) и В (8,-7,5). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку В, перпендикулярную отрезку АВ.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.
А(х-х0)+В(у-у0)+C(z-z0)=0
В качестве точки используем точку В (8,-7,5), а в качестве вектора, перпендикулярного плоскости вектор . Найдём проекции вектора :
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image968.gif)
тогда уравнение плоскости получим в виде:
6(х-8)-6(у+7)+7(z-5)=0
6х-48-6у-42+7z-35=0
6х-6у+7z-35=0
6х-6у+7z-125=0
Пример 4:
Найти уравнение плоскости, параллельной оси ОY и проходящей через точки К(1,-5,1) и М(3,2,-2).
Решение:
Так как плоскость параллельна оси ОY, то воспользуемся неполным уравнением плоскости.
Ax+Cz+D=0
В силу того, что точки К и М лежат на плоскости , получим два условия.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image970.gif)
Выразим из этих условий коэффициенты А и С через D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image972.gif)
Подставим найденные коэффициенты в неполное уравнение плоскости:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image974.gif)
так как , то сокращаем D:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image978.gif)
Пример 5:
Найти уравнение плоскости проходящей через три точки М(7,6,7), К(5,10,5), R(-1,8,9)
Решение:
Воспользуемся уравнением плоскости проходящей через 3 заданные точки.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image980.gif)
подставляя координаты точек М,К,R как первой, второй и третьей получим:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image982.gif)
раскроем определитель по 1ой строке.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image984.gif)
Пример 6:
Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (8,-3,1); М2 (4,7,2) и перпендикулярно плоскости 3х+5у-7z-21=0
Решение:
Сделаем схематический чертёж (Рис 5.7)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image991.gif)
Рис 5.7
Обозначим заданную плоскость Р2 а искомую плоскость Р2.. Из уравнения заданной плоскости Р1 определяем проекции вектора , перпендикулярного плоскости Р1.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image994.gif)
Вектор путём параллельного переноса может быть перемещён в плоскость Р2, так как по условию задачи плоскость Р2 перпендикулярна плоскости Р1 , а это значит вектор параллелен плоскости Р2.
Найдём проекции вектора лежащего в плоскости Р2:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image998.gif)
теперь мы имеем два вектора и , лежащих в плоскости Р2. очевидно вектор , равный векторному произведению векторов и будет перпендикулярен плоскости Р2, т. к. он перпендикулярен и , поэтому его нормального вектора плоскости Р2.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1000.gif)
Векторы и заданы своими проекциями поэтому:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1006.gif)
Далее, используем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярную вектору. В качестве точки можно взять любую из точек М1 или М2, например М1(8,-3,1); В качестве нормального вектора к плоскости Р2 берём .
74(х-8)+25(у+3)+50(z-1)=0
3(х-8)+(у-3)+2(z-1)=0
3х-24+у+3+27-2=0
3х+у+2z-23=0
Пример 7:
Прямая задана пересечением двух плоскостей. Найти канонические уравнения прямой.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1010.gif)
Рис 5.8
Решение:
Имеем уравнение в виде:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1018.gif)
Надо найти точку (х0,у0,z0), через которую проходит прямая и направляющий вектор .
Выберем произвольно одну из координат. Например, z=1, тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1022.gif)
Таким образом, мы нашли точку лежащую на искомой прямой (2,0,1).
В качестве направляющего вектора искомой прямой возьмём векторное произведения векторов и , являющихся нормальными векторами т.к. , а значит параллельно искомой прямой.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1029.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1031.gif)
Таким образом, направляющий вектор прямой имеет проекции . Используя уравнение прямой проходящий через заданную точку параллельно заданному вектору:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1035.gif)
Итак искомое каноническое уравнение имеет вид:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1037.gif)
Пример 8:
Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости 2x+3y+3z-8=0
Решение:
Запишем заданное уравнение прямой в параметрическом виде.
х=3t-2; y=-t+2; z=2t-1
каждой точке прямой соответствует единственное значение параметра t. Для нахождения параметра t соответствующего точке пересечения прямой и плоскости подставим в уравнение плоскости выражение х, у, z через параметр t.
2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0
6t-4-3t+6+6t-3-8=0
9t-9=0
t=1
тогда координаты искомой точки
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1041.gif)
искомая точка пересечения имеет координаты (1;1;1).
Пример 9:
Найти уравнение плоскости проходящей через параллельные прямые.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1043.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1045.gif)
Решение:
Сделаем схематический чертёж (Рис 5.9)
Рис 5.9
Из заданных уравнений прямых и определяем проекции направляющих векторов этих прямых . Найдём проекции вектора , лежащего в плоскости Р, а точки и берём из канонических уравнений прямых М1 (1,-1,2) и М2 (0,1,-2).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1066.gif)
Таким образом, имеем два неколлинеарных вектора и принадлежащих искомой плоскости Р. Вектор являющийся векторным произведением этих векторов, можно взять в качестве направляющего вектора ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1002.gif)
Теперь у нас есть вектор перпендикулярный плоскости и точка лежащая в плоскости. Тогда искомое уравнение плоскости имеет вид:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1074.gif)
Пример 10:
Найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1076.gif)
Решение:
Сделаем схематический чертёж (Рис 5.10)
p
M 1 S1 L1
M2 L2
Для решения этой задачи найдём уравнение вспомогательной плоскости Р перпендикулярной параллельным прямым L1 и L2 и проходящей через точку М1 (1,-1,2) лежащую на прямой L1. В качестве направляющего вектора этой плоскости может быть взять направляющий вектор прямой L1 . Тогда уравнение плоскости Р
1(х-1)-2(у+1)+3(z-2)=0
х-1-2у-2+3z-6=0
х-2у+3z-9=0
Найдём точку пересечения прямой L2 и плоскости Р, для этого уравнение прямой L2 представим в параметрическом виде:
x=t; y=-2t+1; z=3t-2
Находим значение параметра t соответствующее точке пересечения прямой L2 и плоскости Р, точка М2
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1085.gif)
таким образом координаты точки М2
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1087.gif)
Найдём расстояние между двумя точками М1 и М2 это и будет расстояние между параллельными прямыми L1 и L2.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1089.gif)
Задачи для самостоятельного решения
1. Проверить проходит ли плоскость 3х-5у+2z-17=0 через точки А(4,1,2); В(2,-1,3); С(7,1,2)
2. Найти на плоскости, заданной уравнением у+z-2=0, такую точку Р, чтобы прямая ОР составляла с осями ОY и oz углы 600.
3. Даны две точки А(-7,2,-1) и В(3,4,10). Найти уравнение плоскости проходящей через точку В перпендикулярную и отрезку АВ.
4. Найти уравнение плоскости проходящей через ось ОХ и через точку (3,2,-7).
5. Найти угол между плоскостями х+у-11=0 и 3х+8=0.
6. Найти уравнение плоскости проходящей через начало координат и перпендикулярной плоскостям: х-у+z-7=0; 3х+2у-11z+5=0.
7. Определить расстояние от точки А(1,2,1) до плоскости х+2у+2z-10=0.
8. Найти расстояние между параллельными плоскостями: 3х+2у-6z-56=0; 3х+2у-6z-35=0.
9. Определить лежат ли точки А(5,-2,-3) и В(8,3,1) на прямой заданной пересечением двух плоскостей:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1091.gif)
10. Привести уравнение прямой, заданной пересечением двух плоскостей к каноническому виду:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1093.gif)
11. Проверить лежат ли прямые в одной плоскости.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1095.gif)
12. Найти угол между прямой и плоскостью, если прямая задана как пересечение двух плоскостей: , а уравнение плоскости имеет вид: 6х+15у-10z+31=0.
13. Найти уравнение плоскости проходящей через точку (-1,-2,-3) и параллельно прямым
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/594798551782.files/image1099.gif)
14. Составить уравнение плоскости проходящей через прямую, заданную пересечением двух плоскостей: и параллельно прямой х=у=z.
15. Решить задачу, рассмотренную в примере 11 без составления уравнения вспомогательной плоскости.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|