Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям.
Цели
Знать:
v Основные определения, связанные с методом координат на плоскости;
v основные приложения метода координат на плоскости.
Уметь:
v Составлять уравнение линии в прямоугольной системе координат по заданному её свойству.
▼Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат. ▲
▼ Прямоугольная система координат ХОУ задаётся двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Эти прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью абсцисс и обозначают ОХ, другую — осью ординат и обозначают ОY. ▲
Координаты точки М записывают так: М(х; у); при этом число х называется — абсциссой точки М, а число у — ординатой точки М.
▼ Расстояние между двумя точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) на плоскости вычисляется по формуле:
(1). ▲
▼ Координаты (х; у) точки М, делящей в заданном отношении отрезок АВ, где А(х1; у1) и В(х2; у2), находятся по формулам:
(2). ▲
В частности, при (точка М делит отрезок АВ пополам), получаются формулы координат середины отрезка:
.
▼ Площадь треугольника с вершинами А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3) вычисляется по формуле:
(3)
или
, где .▲
№1. Найти точку, симметричную точке А(–2; 4) относительно биссектрисы первого координатного угла.
► Проведём через точку А прямую l1, перпендикулярную биссектрисе l первого координатного угла. Пусть . На прямой l1 отложим отрезок СА1, равный отрезку АС (рис. 1).
рис.1
Прямоугольные треугольники АСО и А1СО равны между собой (по двум катетам). Отсюда следует, что |OA|=|OA1|. Треугольники ADO и OEA1 также равны между собой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что |AD|=|OE|=4, |OD|=|EA1|=2, т.е. точка А1 имеет координаты х=4, у= –2, т.е. А1(4; –2).◄
№2.В треугольнике с вершинами А(2; 3), В(6; 3), С(6; –5) найти длину биссектрисы ВМ.
►По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеем: .
Найдём, используя формулу (1) длины сторон ВС и ВА треугольника АВС:
, .
Следовательно,
= .
Найдем, используя формулу (2) координаты точки М:
, , т.е. .
Найдём длину биссектрисы ВМ:
,
т.е. . ◄
Задачи для самостоятельного решения
№1. Дана точка А(3; –2). Найти координаты точек, симметричных точке А относительно оси ОX, оси ОY, начала координат.
Ответ: (3; 2); (–3; –2); (–3; 2).
№2. Найти координаты точки, симметричной точке А(2; 4) относительно биссектрисы: 1) второго и четвёртого координатных углов; 2) первого и третьего координатных углов.
Ответ: (4; –2); (4; 2).
№3. Точки А(2; 4), В(–3; 7) и С(–6; 6) — три вершины параллелограмма, причём А и С — противоположные вершины. Найти четвёртую вершину.
Ответ: (–1; 3).
№4. Дан треугольник с вершинами А(–2; 4), В(–6; 8), С(5; –6). Найти площадь этого треугольника.
Ответ: 6 кв.ед.
№5. На оси ординат найти точку, отстоящую от точки А(3; –8) на расстоянии 5 единиц.
Ответ: (0; –4) и (0; –12).
№6. Отрезок с концами А(1; –5) и В(4; 3) разделён на три равные части. Найти координаты точек деления.
Ответ: ; .
№7. Найти координаты точки, одинаково удалённой от осей координат и от координаты точки А(1; 8).
Ответ: (5; 5), (13; 13).
№8. Даны вершины треугольника: А(7; 2), В(1; 9), С(–8; –11). Найти расстояние от точки О пересечения медиан треугольника до вершины В.
Ответ: .
№9. Две противоположные вершины квадрата находятся в точках А(3; 5) и С(1; –3). Найдите его площадь.
Ответ: 34 кв.ед.
№10. Найти площадь четырёхугольника с вершинами А(–3; 2), В(3; 4), С(6; 1), D(5; –2).
Ответ: 20 кв.ед.
Занятие 2
Различные виды уравнения прямой на плоскости
Цели
Знать:
v Различные формы записи уравнения прямой на плоскости;
v условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Уметь:
v Составлять по заданным условиям уравнение прямой;
v переходить от одного вида уравнения к другому;
v находить связь между коэффициентами общего уравнения прямой и взаимным расположением прямых.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
у=kx+b, (4)
где k — угловой коэффициент прямой (т.е. тангенс угла , который прямая образует с положительным направлением оси ОX, ); b — ордината точки пересечения прямой с осью ОY.
2. Общее уравнение прямой
Ах+Ву+С=0, (5)
где А, В и С — постоянные коэффициенты, причём А и В одновременно не обращаются в нуль (т.е. ).
3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(х0;у0) в данном направлении
, (6)
где k=tg ( — угол, образуемый этой прямой с осью ОX,); (х0; у0) — координаты данной точки.
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых и
, (7)
где , принимают всевозможные действительные значения.
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
М1(х1;у1) и М2(х2; у2), где ,
. (8)
Угловой коэффициент этой прямой определяется по формуле:
. (9)
5. Уравнение прямой в отрезках на осях
, (10)
где a, b — длины отрезков (с учётом знаков), отсекаемых прямой на осях Ох и Оу соответственно.
6. Нормальное уравнение прямой
, (11)
где р — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, — угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох (рис.2).
рис.2
Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных углов, образованными этими прямыми.
Если прямые l1и l2заданы уравнениями с угловыми коэффициентами ; или уравнениями в общем виде ; , то угол между ними вычисляется по формуле:
, (12)
Расстояние d от точки М0(х0; у0) до прямой Ax+By+C=0вычисляется по формуле:
(13).
№3. Найти уравнение прямой, образующей с ось ОX угол и пересекающей ось ОY в точке (0; 5). Выяснить, проходит ли эта прямая через точки А(2; 3) и В(2; –3). Построить прямую.
► Из условия задачи следует, что отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, b=5, угловой коэффициент k=tg = –1. Следовательно, уравнение прямой с угловым коэффициентом:
у= –х+5.
Подставляя в искомое уравнение прямой координаты точки А вместо текущих координат, получим 3= –2+5, т.е. 3=3. Т.к. координаты точки А удовлетворяют уравнению прямой, то прямая проходит через эту точку.
Подставляя в уравнение координаты точки В, получим . Координаты точки В не удовлетворяют уравнению, следовательно, прямая не проходит через точку В.
Положение прямой определяется двумя точками, принадлежащими ей. Для построения прямой по ее уравнению следует:
1) найти любые две точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению;
2) построить их;
3) через полученные точки провести прямую.
Уравнение данной прямой содержит свободный член, следовательно, эта прямая пересекает оси координат.
Найдём точки пересечения прямой с осями координат и проведём через них прямую. Запишем это в виде таблицы:
рис.3
Получили точки С(0; 5) и D(5; 0). Построим эти точки и проведём через них искомую прямую (рис.3). ◄
№4. Найти угловой коэффициент прямой и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат, зная, что прямая проходит через точки М(2; –1) и Р(–1; 8).
► Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки (8) подставляя в уравнение вместо х1, у1, х2, у2 координаты точек М и Р, получаем:
,
отсюда
или у= –3х+5.
Искомое уравнение мы привели к уравнению с угловым коэффициентом, т.е. к уравнению вида у=kx+b. Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой k= –3 и начальная ордината b=5.
Угловой коэффициент можно найти также по формуле (9) . ◄
№5. Дан треугольник с вершинами А(4; 6), В( –3; 0), С(2; –3). Найти углы треугольника, уравнения биссектрисы AD, высоты СЕ и точку их пересечения (рис.4).
► Угловые коэффициенты прямых АВ, ВС, АС найдём по формуле (9). Следовательно,
;
;
.
рис.4
Теперь найдём углы треугольника, воспользовавшись формулой (8). Имеем:
, ÐA=arctg 0,75;
, ÐВ=arctg 3;
, ÐC=arctg 3.
Следовательно — равнобедренный.
Для нахождения уравнения биссектрисы угла А напишем уравнения сторон АВ и АС данного треугольника. Уравнение прямой АВ:
или 6х – 7у+18=0.
Уравнение прямой АС:
или 9х – 2у – 24=0.
Пусть точка М(х; у) лежит на биссектрисе AD (х и у — текущие координаты биссектрисы), тогда она будет одинаково удалена от сторон АВ и АС угла А.
Расстояние d1от точки М(х; у) до стороны АВ можно записать так: d1= , аналогично расстояние d2= (расстояние от точки М(х; у) до стороны АС.
Так как точки В и С лежат по разные стороны относительно биссектрисы AD, то d1= – d2. Следовательно, уравнение биссектрисы AD:
или 5х – 3у – 2=0.
Теперь напишем уравнение прямой СЕ. По условию прямая СЕ перпендикулярна к прямой АВ, следовательно, , т.е. . Учитывая, что прямая СЕ проходит через точку С(2; –3), напишем искомое уравнение:
или 7х+6у+4=0.
Найдём точку пересечения F прямых AD и CE. Для этого решим систему уравнений:
х=0; . Следовательно, искомая точка . ◄
Аудиторные задания
№11. Построить прямую 2x –3y – 9=0 (тремя способами).
№12. Даны вершины треугольника А(–1; 3); В(3; –2) и С(5; 3) составить уравнения:
а) трёх его сторон;
б) медианы, проведённой из точки В;
в) высоты, опущенной из точки С на АВ;
г) прямых проходящих через вершины треугольника и параллельных противоположным сторонам.
Ответ: а) 5x+4y – 7=0; 5x – 2y – 19=0; y – 3=0;
б) 5x+y – 13=0; в) 4x – 5y – 5=0;
г) 5x – 2y+11=0; y+2=0; 5x+4y – 37=0.
№13. Через т. М(2; 5) провести прямую так, чтобы отрезок, заключённый между осями координат, делился в этой точке пополам.
Ответ: 10x+4y – 40=0.
№14. Даны стороны треугольника АВ: x+3y – 7=0; ВС:
4x – y – 2=0; АС: 6x+8y – 35=0. Найти длину высоты, проведённой из вершины В.
Ответ:1,3.
№15. Записать уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей угол 450 с прямой y=2x+5.
Ответ: 3x+y=0.
№16. Найти уравнение прямой, параллельной прямой
12x+5y – 52=0 и отстоящей от неё на расстоянии 2ед.
Ответ: 12x+5y – 26=0; 12x+5y – 78=0.
№17. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
3x – 4y+5=0 и 4x+3y –7=0 и одна из его вершин А(–2; 1). Найти уравнения двух других сторон прямоугольника.
Ответ:3x – 4y+10=0; 4x+3y+5=0.
№18. Даны точки А(–6; 0) и В(0; 8). Через середину отрезка АВ провести прямую отсекающую на оси ОХ отрезок втрое больший, чем на оси OY.
Ответ: x+3y – 9=0.
№19. Точка А(2; –5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x –2y – 7=0. Вычислить площадь квадрата.
Ответ: 5кв.ед.
Домашние задания
№20. По данным уравнениям построить прямые (тремя способами): а) 2x – y+3=0; б) 5x+2y – 8=0; в) 3x+8y+16=0;
г) 3x – y=0.
№21. Найти точки пересечения прямых:
а) 3x – 5y – 21=0 и 2x – y – 7=0; б) x+3y – 5=0 и 3x+9y+7=0.
Ответ: а) (2; –3); б) прямые параллельны.
№22. Из пучка прямых, определяемых уравнением y+3=k(x – 2) выделить прямую, проходящую через точку А(–2; 5).
Ответ: 2x+y – 1=0.
№23. Даны две вершины треугольника А(–2; 1) и В(3; –4) и точка Н(5; –1) пересечение высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.
Ответ: x+y+1=0; 7x – 2y – 29=0; 2x+3y+1=0.
№24. Составить уравнение прямой, зная, что расстояние от нее до начала координат равно , а угол между перпендикуляром, опущенном из начала координат на прямую, и осью ОХ равен .
Ответ: х – у+2=0.
№25. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(10; –6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью 15 кв.ед.
Ответ: 6x+5y–30=0 и 3x+10y+30=0.
№26. Через точку М(3; 5) провести прямую, отсекающую на всех осях координат отрезки равной величины.
Ответ: x+y – 8=0.
№27. Точка А(2; –5) является вершиной квадрата, одна из стон которого лежит на прямой х – 2у – 7=0. Найти площадь этого квадрата.
Ответ: 5 кв.ед.
№28. Даны две вершины треугольника А(2; –2), В( –6; 2) и точка О(1; 2) пересечения высот. Найти координаты третьей вершины С.
Ответ: (2; 4).
Дополнительные задания
№29. Вычислить площадь треугольника, заключённого между осями координат и прямой 2x+7y – 14=0.
Ответ: 7 кв.ед.
№30. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
М(5; –4) перпендикулярно прямой 3x+2y – 7=0.
Ответ:2x – 3у – 22=0.
№31. Прямая задана уравнением: 5x+y – 4=0. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; –2) и наклонённую к данной под углом 45 .
Ответ: 2x+3y+4=0 или 3х – 2y – 7=0.
№32. Определить расстояние между параллельными прямыми 3x+y – 3 =0; 6x+2y+5 =0. Ответ: .
№33. Прямая задана уравнением 2x+5y – 1=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М( –1;3) и: а) параллельно данной; б) перпендикулярно данной.
Ответ: 2x+5y – 13=0; 5x – 2y+11=0.
№34. Даны середины сторон треугольника P(1; 2), Q(5; –1), R( –4; 3). Составить уравнения его сторон.
Ответ: 4x+9y –22=0; x+5y=0; 3x+4y=0.
№35. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 1) и параллельно прямой y=3x – 4.
Ответ:3x – у –5=0.
№36. Дан треугольник с координатами вершин А(1; 2); В(4; 3); С(1; 3). Составить уравнения сторон.
Ответ: x – 3y+5=0; y=3; x=1.
№37. Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и наклонённых к оси ОХ под углом: а) 30 ; б)45 ; в)60 ; г)90 .
Ответ: а) ; б) y=x; в) y= ; г) x=0.
№38. Найти точку, симметричную точке А(1; 7) относительно прямой 2x – 5y+4=0.
Ответ: (5; –3).
№39. Вычислить площадь треугольника, стороны которого лежат на прямых, заданных уравнениями: x –3y+11=0; 5x+2y – 13=0; 9x+7y – 3=0.
Ответ: 17 кв.ед.
№40. Даны уравнения сторон треугольника 4x – 3y – 9=0; 3x+4y+12=0; x – 2y+4=0. Определить координаты вершин треугольника.
Ответ: (0; –3); ( –4;0); (6; 5).
№41. Дан треугольник координатами вершин А( –8; 3); В(8; 5); С(8; –5). Составить уравнения высот и показать, что они пересекаются в одной точке.
Ответ: 8x+y – 59=0; 2x – y – 11=0; y – 3=0; A(7; 3).
№42. Найти внутренние углы треугольника, стороны которого лежат на прямых, заданных своими уравнениями: 4x – 3y+3=0; 3x+4y+4=0; x – 7y+18=0.
Ответ: 900; 450; 450.
№43. Даны две стороны параллелограмма x – y+1=0;
3x+2y –12=0 и точка O(6; 4) — пересечение диагоналей. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.
Ответ: x – y – 5=0; 3x+2y – 40=0.
№44. Составить уравнения прямых, проведённых через середины сторон треугольника с вершинами А(3; 4); В(3; 2); С( –1; 2).
Ответ: x – 2y+3=0; x=1; y=3.
№45. Написать уравнения сторон и высоты треугольника с вершинами P( –4; 3); Q(2; 5); R(6; –2).
Ответ: y= x+ ; y= x+ ; y= x+1; y= .
№46. Записать уравнения прямых, на которых лежат стороны равнобедренной трапеции, зная, что основания её равны 10 и 6, а боковые стороны образуют с большим основанием угол в 600. Большее основание лежит на оси абсцисс, а ось симметрии трапеции — на оси ординат.
Ответ: y=0; y=2 ; y= x+5 ; y= – x+5 .
№47. Записать уравнения прямых, которые проходят через точку А(3; –1) и параллельны: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) биссектрисе первого координатного угла; г) прямой y=3x+9.
Ответ: y= –1; x=3; y=x – 4; y=3x – 10.
№48. Луч света направлен по прямой . Найти координаты точки М встречи луча с осью ОХ и уравнение отражённого луча.
Ответ: M(6; 0); .
№49. Точка А( –2; 3) лежит на прямой, перпендикулярной к прямой 2x – 3y+8=0. Записать уравнение этой прямой.
Ответ: 3x+2y=0.
№50. Две стороны квадрата лежат на прямых 5х – 12у – 65=0 и 5х – 12у+26=0. Найти площадь квадрата.
Ответ: 49 кв.ед.
№51. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
М(4; –3) и образующей с осями координат треугольник площадью 3 кв.ед.
Ответ: или .
№52. Вычислить величину угла между прямыми 3x+4y – 2=0 и 8x+6y+5=0. Доказать, что точка А лежит на биссектрисе этого угла.
№53. Найти длины сторон треугольника и его внутренние углы, если известно, что стороны лежат на прямых: x – 6y+5=0; 5x – 2y – 3=0; x+y – 9=0.
Замечание. Если: c2>a2+b2 — тупоугольный; c2=a2+b2 — прямоугольный; c2<a2+b2 — остроугольный.
Ответ: АВ= ; ВС= ; АС= ;
tgA= ; tgB= ; tgC= .
Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Прямая на плоскости»
Задание 1.Даны вершины треугольника АВС: А(4; 3), В( –3; –3), С(2; 7). Найти:
а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение высоты СН;
в) уравнение медианы АМ;
г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
е) расстояние от точки С до прямой АВ.
► а) Прямая проходит через две точки А(4; 3) и В( –3; –3), воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки (8), получим уравнение стороны АВ:
, откуда
6(х – 4)=7(у – 3) или 6х – 7у – 3=0;
б) Угловой коэффициент прямой АВ: kАВ= . С учётом условия перпендикулярности прямых АВ и СН угловой коэффициент высоты СН: kСН = .
Составим уравнение высоты СН , проходящей через точку С(2; 7) с угловым коэффициентом , воспользуемся формулой (6):
у – 7= (х – 2) или 7х+6у – 56=0;
в) Найдём координаты точки М — середины отрезка ВС:
; , т.е .
Теперь по двум известным точкам А и М составляем уравнение медианы АМ:
или 2х – 9у+19=0;
г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы АМ и высоты СН составляем систему уравнений:
Решая систему, получаем х= , у= , т.е. ;
д) Так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны kCD = kAB = . Тогда используя формулу (6), уравнение прямой СD имеет вид:
у – 7= (х –2) или 6х – 7у+37=0;
е) расстояние от точки С до прямой АВ вычисляем по формуле (13):
d=|CH|= .
рис.5
Решение задачи проиллюстрировано на рисунке 5. ◄
Задание 2.Известны вершины О(0; 0), А( –2; 0) параллелограмма АОСD и точка пересечения его диагоналей В(2; –2). Записать уравнения сторон параллелограмма.
► Уравнение стороны ОА можно записать сразу: у=0. Так как точка В является серединой диагонали AD, то по формулам деления отрезка пополам можно вычислить координаты вершины D(x; y):
; ,
откуда х=6, у= –4.
Теперь можно найти уравнения всех остальных сторон. Учитывая параллельность сторон ОА и СD, составляем уравнение стороны CD: y= –4.
Уравнение стороны OD составляем по двум известным точкам:
или 2х+3у=0.
Уравнение стороны АС находим, учитывая, что она проходит через известную точку А( –2; 0) параллельно известной прямой OD:
у – 0= (x+2) или 2х+3у+4=0. ◄
Занятие 3
Кривые второго порядка
Цели
Знать:
v Определения основных кривых второго порядка и их канонические уравнения;
v определение фокусов, фокусного расстояния, директрис и эксцентриситета линий второго порядка;
Уметь:
v Определять по каноническому уравнению вид кривой второго порядка;
v по заданному каноническому уравнению находить все числовые характеристики линий второго порядка;
v строить кривые второго порядка по каноническому уравнению.
▼ Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени
, (14)
называются кривыми второго порядка. ▲
Эллипс
▼ Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 6 а, б).
Каноническое уравнение эллипса:
, (15)
где а=ОА1=ОА2 — длина большой полуоси; b=OB1=ОВ2 — длина малой полуоси. ▲
а) б)
рис.6
А1(–а; 0), А2(а; 0), В1(0; –b), B2(0; b) — вершины эллипса; F1 и F2 — фокусы эллипса (левый и правый), расстояние между фокусами F1F2=2с — фокусное расстояние.
Зависимость между параметрами a, b и c выражается соотношением:
a2 – b2=c2.
- если a>b, координаты фокусов F1(–c;0), F2(c;0), где (рис.6 а), тогда
эксцентриситет эллипса:
(16.а);
уравнение директрис эллипса:
(17.а).
- если a<b, координаты фокусов F1(0; –с), F2(0; с), где (рис.6 б), тогда
эксцентриситет эллипса:
(16.б);
уравнение директрис эллипса:
(17.б).
Фокальные радиусы эллипса:
. (18).
2. Окружность
▼ Окружностью называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности (рис.7);
Каноническое уравнение окружности:
(19). ▲
рис.7
3. Гипербола
▼ Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (её обозначают через 2а) (рис. 8 а, б).
Каноническое уравнение гиперболы:
, (20)
где а — длина действительной полуоси; b —длина мнимой полуоси. ▲
а) б)
рис. 8
А1(а; 0) и А2(–а; 0) — вершины гиперболы; отрезок А1А2=2а — вещественная осью гиперболы; b — мнимая полуось, F1(–c; 0), F2(c; 0) — координаты фокусов гиперболы, F1F2=2c — расстояние между фокусами гиперболы.
Зависимость между параметрами a, b и с выражается соотношением:
с2=a2+b2.
Уравнение асимптот гиперболы: .
Эксцентриситет гиперболы: .
Уравнения директрис: .
Фокальные радиусы: .
Две гиперболы и называются сопряженными, если они имеют одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты, но вещественная ось одной служит мнимой осью другой, и наоборот.
Парабола
▼ Параболой называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (рис.9).
Каноническое уравнение параболы
у2=2рх, (22)
р — расстояние от фокуса F до директрисы (p>0). ▲
рис.9
вершина параболы — начало координат, ось симметрии — ось абсцисс, — фокус параболы.
Уравнение директрисы: .
Фокальный радиус: .
Эксцентриситет параболы =1.
Различные виды парабол
v Парабола симметрична относительно оси ОХ и направлена в её отрицательном направлении (рис.10)
у2= – 2 р х, (p>0) (23)
координаты фокуса ; уравнение директрисы .
v Парабола симметрична относительно оси ОY и направлена в её положительном направлении (рис.11)
х2=2 р у,(p>0) (24)
координаты фокуса , уравнение директрисы .
v Парабола симметрична относительно оси ОY и направлена в отрицательном направлении (рис.12)
х2= –2 р у, (p>0). (25)
координаты фокуса , уравнение директрисы .
рис. 10 рис.11 рис.12
№6.Написать уравнение окружности с центром в точке С(–2; 3) и радиусом R=5.
► По условию a= –2, b=3, R=5, следовательно, по формуле (15) получаем искомое уравнение окружности:
(х+2)2+(у–3)2=25, или х2+у2+4х–6у–12=0. ◄
№7.Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса 4х2+9у2=16.
► Разделив на 16 обе части уравнения, получим каноническое уравнение эллипса:
или .
Сравнивая это уравнение с (16), находим: а2 = 4; a=2; b2= ; b= ; = , следовательно, фокусы имеют координаты , , тогда эксцентриситет равен: . ◄
№8. На эллипсе 16х2+25у2=400 найти точку, расстояние от которой до правого фокуса в четыре раза меньше расстояния до левого фокуса.
► Разделив обе части уравнения на 400, находим каноническое уравнение эллипса:
,
откуда a2=25, a=5, b2=16, b=4, c2=25 – 16=9, c=3, .
В силу формулы (18) расстояния до фокусов выразятся так: . По условию r1=4r2, следовательно, , откуда х=5.
Подставляя это значение в уравнение эллипса, получим у=0, следовательно, искомая точка М(5; 0).◄
№9. Составить уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами её равно 20, а расстояние между фокусами 30.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|