|
Достоинства и недостатки метода Адамса
Чтобы начать расчет методом Адамса, недостаточно знать . Для начала расчета по формуле (1.3) надо знать величину решения в четырех точках . Поэтому надо вычислить недостающие значения каким-либо другим методом, например методом Рунге – Кутта, или разложением по формуле Тейлора с достаточно большим числом членов. При работе на ЭВМ это вдвое увеличивает объем программы. Кроме того, формулы (1.3) громоздки, а несложные формулы (1.4) рассчитаны только на постоянный шаг и требуют нестандартных действий при смене шага: надо перейти к формулам (1.3), сделать по ним четыре шага и снова вернуться к формулам (1.4). Все это делает метод Адамса неудобным для расчетов на ЭВМ.
Внешне этот метод привлекателен тем, что за один шаг приходится только один раз вычислять , которая может быть очень сложной. А в четырехчленной схеме Рунге – Кутта того же порядка точности вычисляется за шаг четыре раза, но шаг можно брать в несколько раз больше, т.е. вычислять за меньшее количество раз, чем в методе Адамса.
Поэтому сейчас метод Адамса и аналогичные методы (например, Милна) употребляются реже метода Рунге – Кутта.
Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса
Метод Адамса применяется как для решения простых дифференциальных уравнений, так и для их систем.
Постановка задачи
Методом Адамса найти решение системы уравнений на отрезке с точностью
где – заданные константы
Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса
В данную систему уравнений подставим значения коэффициентов и начальные условия. Получим
адамс дифференциальный уравнение результат
Методом Адамса найдем решение этой системы на заданном отрезке. Для этого вычислим методом Рунге-Кутта несколько начальных значений функции.
Выберем шаг и, для краткости, введем и
Рассмотрим числа:
Согласно методу Рунге-Кутта последовательные значения определяются по формуле
где
. (2.1)
Подставив в эти формулы начальные значения получим
Дальше вычисления продолжаем по методу Адамса. Все расчеты записываем в таблицах 2.1 и 2.2.
Таблица 2.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0,8000
| 0,0893
| -0,0711
| 0,0636
| -2
|
| 1,1000
| 0,1002
| -0,1162
| 0,1040
|
| 0,1
| 3,3672
|
| 0,8893
| 0,0183
| -0,0075
| 0,0680
| -2,1586
|
| 1,2002
| -0,0160
| -0,0122
| -0,3354
|
| 0,2
| 3,4944
|
| 0,9076
| 0,0108
| 0,0605
| 0,0512
| -2,0867
|
| 1,1841
| -0,0282
| -0,3476
| 0,7024
|
| 0,3
| 3,5964
| 0,9445
| 0,9183
| 0,0713
| 0,1117
| -0,1448
| -1,9906
| 1,1757
| 1,1559
| -0,3758
| 0,3548
| -0,6647
|
| 0,4
| 4,5409
| 1,0761
| 0,9897
| 0,1831
| -0,0330
| 0,1605
| -0,8149
| 0,3215
| 0,7801
| -0,0210
| -0,3099
| 0,8201
|
| 0,5
| 5,6169
| 1,3300
| 1,1727
| 0,1500
| 0,1275
| -0,1562
| -0,4934
| 1,1598
| 0,7590
| -0,3309
| 0,5102
| -0,9910
|
| 0,6
| 6,9469
| 1,3297
| 1,3227
| 0,2775
| -0,0288
| 0,2023
| 0,6664
| -0,1157
| 0,4281
| 0,1793
| -0,4809
| 1,1396
|
| 0,7
| 8,2766
| 1,8523
| 1,6003
| 0,2488
| 0,1735
| -0,2240
| 0,5507
| 1,2171
| 0,6074
| -0,3016
| 0,6587
| -1,3700
|
| 0,8
| 10,1290
| 1,9028
| 1,8490
| 0,4223
| -0,0505
|
| 1,7678
| -0,4170
| 0,3058
| 0,3571
| -0,7113
|
|
| 0,9
| 12,0318
| 2,6306
| 2,2713
| 0,3718
|
|
| 1,3508
| 1,5432
| 0,6629
| -0,3542
|
|
|
|
| 14,6623
| 2,7239
| 2,6431
|
|
|
| 2,8940
| -0,6786
| 0,3086
|
|
|
|
Таблица 2.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| -2
|
|
| 0,1
| 3,3672
| 8,893
| -2,1586
| 12,0016
|
| 0,2
| 3,4944
| 9,0755
| -2,0867
| 11,8412
|
| 0,3
| 3,5964
| 9,1834
| -1,9906
| 11,5588
|
| 0,4
| 4,5409
| 9,8967
| -0,8149
| 7,8005
|
| 0,5
| 5,6169
| 11,7272
| -0,4934
| 7,5905
|
| 0,6
| 6,9469
| 13,2274
| 0,6664
| 4,2813
|
| 0,7
| 8,2766
| 16,0025
| 0,5507
| 6,0738
|
| 0,8
| 10,129
| 18,4902
| 1,7678
| 3,0578
|
| 0,9
| 12,0318
| 22,7128
| 1,3508
| 6,6286
|
Полученные по формуле (1.3) значения необходимо уточнить, рассчитав их по формуле (1.4). Полученные данные запишем в таблицу.
Таблица 2.3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0,1
|
|
|
|
|
| 0,2
|
|
|
|
|
| 0,3
| 0,9445
| 0,946075
| 1,1757
| 1,010942
|
| 0,4
| 1,0761
| 1,069808
| 0,3215
| 0,710767
|
| 0,5
| 1,3300
| 1,256483
| 1,1598
| 0,647071
|
| 0,6
| 1,3297
| 1,444138
| -0,1157
| 0,441063
|
| 0,7
| 1,8523
| 1,733608
| 1,2171
| 0,537967
|
| 0,8
| 1,9028
| 2,037263
| -0,4170
| 0,381975
|
| 0,9
| 2,6306
| 2,470742
| 1,5432
| 0,602158
|
|
| 2,7239
| 2,6431
| -0,6786
| 0,3086
|
Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений точным методом
Для решения системы выразим из первого уравнения
.
Находим производную функции
.
Подставим полученное значение по второе уравнение
.
Заменим это уравнение на параметрическое и решим его. Получим корни уравнения
Общее решение имеет вид
Учитывая начальные условия система принимает вид
Решив систему получим
Подставив полученные значения в общее решение системы получим
Сравнение результатов решения
Описание программы
Описание реализации пунктов алгоритма и руководство для пользователя
Дана система дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями и отрезок отделения корня. Перед началом работы в соответствующие поля на форме необходимо ввести недостающие коэффициенты и запустить программу.
Программа начинает работу с расчета начальных значений функции по методу Рунге-Кутта и, подставив их в уравнения метода Адамса, производит последующие вычисления. После расчетов значений функции в соответствующих точках производиться уточнение полученных данных.
В результате вычислений на форме программы появляются заполненные таблицы с расчетами
Блок-схема
Результаты тестирования
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|