Операции на множествах и их свойства
А Л Г Е Б Р Ы И А Л Г Е Б Р А И Ч Е С К И Е С И С Т Е М Ы
Замечание 1. Под операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над элементами множества М. В качестве примера можно привести операции сложения, умножения, вычитания, деления на множествах ℕ,ℤ,ℚ,ℝ; операции пересечения , объединения разности \ , дополнения на множестве P(U) всех рассматриваемых нами множеств.
Замечание 2. Под унарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над одним элементом из М; под бинарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над двумя элементами множества М и т.д. Например, - бинарные операции на P(U); - унарная операция на P(U).
Замечание 3. В общем случае результат выполнения операции на множестве М не обязан принадлежать множеству М. Например, на множестве ℕ: 3-5 ℕ.
Замечание 4. В общем случае результат выполнения операции не обязан определяться однозначно. В качестве примера можно рассмотреть операцию на множестве ℕ, заданную по правилу: a b = a b.
Операции на множествах, для которых результат определяется однозначно и принадлежит исходному множеству, называются алгебраическими.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется правило или закон, по которому любым двум элементам из М, необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставится в соответствие единственный элемент из М.
Определение бинарной алгебраической операции можно сформулировать также следующим образом.
Определение 1′. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение М.
Вместо (а,в) пишут а в.
Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают символами , ∘, и другими.
Определение 2. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями и отношениями называется алгебраической системой.
Пусть М , 1 – совокупность некоторых алгебраических операций на множестве М, 2 – совокупность некоторых отношений на множестве М. Тогда полученную алгебраическую систему обозначают <M, 1, 2 >.
Пример. <ℤ, {+, ‧}, {<}> - алгебраическая система всех целых чисел.
Определение 3. Непустое множество с определенными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй.
Из определений 2 и 3 алгебра – частный случай алгебраической системы, в случае, когда 2=.
Пример. <ℤ, {+, ‧}> - алгебра всех целых чисел.
Определение 4. Алгебра <М, > называется группоидом, если - бинарная алгебраическая операция на М.
Определение 4′. Непустое множество с определенной на нем бинарной алгебраической операцией называется группоидом.
Свойства операций на множествах
Определение 5. Бинарная операция на множестве М называется коммутативной, если a,b М: a b = b a.
Определение 6. Бинарная операция на множестве М называется ассоциативной, если a, b, c М: (a b) c = a (b c).
Пример. Операции и на множестве P(U) являются коммутативными и ассоциативными, операции + и ‧ на множестве ℤ – ассоциативные и коммутативные.
Замечание 5. Бинарная операция на множестве М может быть ассоциативной или коммутативной, но не быть алгебраической. Например, операция сложения на множестве М={1, 2, 3} является коммутативной и ассоциативной, но не является алгебраической, поскольку 2+3 = 5 M.
Определение 7. Пусть - бинарная алгебраическая операция на множестве М . Элемент e называется нейтральным элементом относительно операции , если a e = e a =a, a М.
Пример. Рассмотрим алгебру < ℕ, + >: a+0=0+a=a, a ℕ 0 – нейтральный элемент относительно сложения натуральных чисел. Отметим, что, при этом, 0 не принадлежит ℕ.
Замечание 6. Нейтральный элемент относительно операции сложения называется нулевым и обозначается символом 0 или θ (читается «тетта»). Нейтральный элемент относительно операции умножения называется единичным и обозначается символом 1 или е.
Теорема 1 (свойство нейтрального элемента). Если во множестве М существует нейтральный элемент относительно бинарной алгебраической операции , то он единственен.
Доказательство. Пусть в М существует нейтральный элемент относительно бинарной алгебраической операции . Покажем, что он единственен.
Пусть е1, е2 – нейтральные элементы в М относительно операции . Тогда достаточно установить, что е1=е2. Действительно, с одной стороны, так как е1 – нейтральный элемент относительно операции , то из определения 7 a e1=e1 a=a, a М. Тогда при a=e2 М получаем
e2 e1= e1 e2 =e2 (1).
С другой стороны, так как е2 – нейтральный элемент относительно операции , то из определения 7 e2 a = a e2 = a, a М. Тогда при a=e1 М получаем
e2 e1 = e2 e1 =e1 (2).
Из (1) и (2) е1=е2 . Теорема доказана.
Определение 8. Пусть - бинарная алгебраическая операция на множестве М , е – нейтральный элемент в М относительно операции , a М. Элемент а′ называется симметричным элементом для элемента a относительно операции , если а а′= a′ a = e.
Пример. Для натурального числа 3 относительно операции умножения симметричным является элемент , так как 3‧ = ‧3 = 1 . Отметим, что ∉ℕ.
Замечание 7. Симметричный элемент для элемента а относительно операции сложения называется противоположным и обозначается (-а). Симметричный элемент для элемента а относительно операции умножения называется обратным и обозначается а-1.
Теорема 2 (свойство симметричного элемента). Пусть - бинарная алгебраическая операция на множестве М , е – нейтральный элемент в М относительно операции . Если операция ассоциативна на М, и в М для элемента a М существует симметричный элемент, то он единственен.
Доказательство. Пусть a′ и a′′ – симметричные элементы для элемента a М, a′ , a′′ М. Покажем, что a′ =a′′. Действительно, так как a′ - симметричный элемент для элемента a относительно операции , то по определению 8 а а′=a′ a=e (1). С другой стороны, так как а′′ - симметричный элемент для элемента a относительно операции , то по определению 8 а а′′=a′′ a=e (2). Тогда по определению 7 а′=а′ e= а′ ( а а′′)=(a′ a) а′′=е а′′=а′′. Теорема доказана.
Определение 9. Пусть , - бинарные алгебраические операции на множестве М . Операция называется дистрибутивной относительно операции , если a, b, c М: a (b c) = (a b) (a c).
Пример. Операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения на множестве ℝ: a,b,c ℝ: a(b+c)=ab+ac.Операция объединения множествдистрибутивна относительно операции пресечения множеств и наоборот.
Теорема 3. Пусть - ассоциативная бинарная алгебраическая операция на множестве М . Тогда применение операции к любым n элементам множества М не зависит от расстановки скобок, и значит, скобки можно опускать.
Определение 10. Группоид <M, > называется полугруппой, если операция ассоциативна на М.
Определение 11. Полугруппа <M, > называется моноидом, если в М существует нейтральный элемент относительно операции .
Определение 12. Полугруппа <M, > называется полугруппой с сокращением, если из а с=b c (c a=c b) a=b, a, b, c М.
Группы
Определение 13. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
1) операция ассоциативна на G , т.е. а (b c) =(a b) c, ∀ a, b, c ∈ G;
2) в G существует нейтральный элемент относительно операции , т.е.
∃ e ∈ G : a e = e a = a, ∀ a ∈G;
3) для каждого элемента из G в G существует симметричный ему элемент относительно операции , т. е. ∀ a ∈ G, ∃ a' ∈ G : a a' = a' a = e.
Примеры. 1. Алгебра <ℕ, +> не является группой, так как не выполняется аксиома группы 2) (0 ∉ℕ ), но является полугруппой с сокращением;
2. алгебра <ℕ, ‧ > не является группой, так как не выполняется аксиома группы 3) (5∈ℕ, но 1/5∉ℕ ), но является моноидом и полугруппой с сокращением;
3. <ℤ, +> - группа;
4. алгебра <ℤ,‧ > не является группой, так как не выполняется аксиома группы 3) (5∈ℤ, но 1/5∉ℤ), но является моноидом;
5. <ℚ, +>, <ℝ, +> - группы;
6. алгебры <ℚ,‧ >, <ℝ,‧ > не являются группами, так как не выполняется аксиома группы 3) (для нуля нет обратного);
7. <ℚ#, ‧ >, <ℝ#, ‧ > - группы. Напомним, что М#=М \{0}.
Определение 14. Группа G относительно операции называется абелевой, если операция коммутативна на G, т. е. a b = b a, ∀ a, b, c∈G.
Определение 15. Группа относительно операции сложения называется аддитивной.
Определение 16. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной.
Примеры. ℤ, ℚ, ℝ – аддитивные группы;
ℝ#, ℚ# - мультипликативные группы.
Определение 17. Группа называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.
Определение 18. Порядком конечной группы G называется число элементов группы G, и обозначается |G|.
Определение группы можно сформулировать следующим образом:
Определение 13'. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие аксиомы:
1') а (b c)=(a b) c, ∀ a, b, c ∈ G;
2') ∃ e∈ G: a e = e a=a, ∀ a∈G (e – правый нейтральный элемент относительно операции );
3') ∀ a ∈G, ∃ a'∈G : a a'=e (a' – правый симметричный элемент для элемента а относительно операции ).
Докажем, что определение 13 и определение 13' равносильны.
1. Пусть выполняются аксиомы 1) –3). Покажем, что выполняются аксиомы 1') –3'). Действительно, если G удовлетворяет условиям 1) – 3), то G удовлетворяет условиям 1') – 3').
2. Пусть выполняются аксиомы 1') – 3'). Покажем, что выполняются аксиомы 1) – 3).
Аксиома 1) совпадает с аксиомой 1').
Покажем, что выполняется аксиома 3). Достаточно проверить, что a' a = e. Пусть (a')' – симметричный элемент для a'. Тогда по аксиоме 3') a' (a')'=e , и значит, a' a=(a' a) е=(a' a) (a' (a')')=a' (a a') (a')'= (a' e) (a')' =a' (a')' =e. Таким образом, a' a = e. Следовательно, выполняется аксиома 3).
Покажем, что выполняется аксиома 2). Достаточно проверить, что e a = a. Действительно, e a=(a a') a=a (a' a)=a e=a. Таким образом, e a = a. Следовательно, выполняется аксиома 2).
Из пунктов 1 и 2 следует, что определения 13 и 13' равносильны.
Замечание 1. Для группы можно также сформулировать ещё одно определение 13'', в котором вместо правых нейтрального и симметричного элементов рассматриваются левые.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|