Магнитных полей прямолинейного и кругового токов
3.4.1. Магнитное поле прямолинейного бесконечно длинного
проводника с током
Определим напряженность магнитного поля, порождаемого бесконечно длинным проводником с током I, в точке А, равноудаленной от его концов (рис. 3.3,а). Для чего выделим некоторый участок проводника длиной , а рассматриваемую точку расположим на кратчайшем расстоянии r0 от него.
На основании закона Био- Савара- Лапласа каждый элемент проводника в рассматриваемой точке создает магнитное поле с напряженностью (рис. 3.3,б):
, (3.5)
где I - величина тока в проводнике;
r - расстояние от элемента проводника dl до рассматриваемой точки поля;
a - угол между направлением тока в проводнике и направлением на рассматриваемую точку поля;
= | | - численное значение вектора, равного элементу проводника, направление которого совпадает с направлением тока.
Из рис. 3.3,б видно, что
; .
Тогда
. (3.6)
Применив принцип суперпозиции магнитных полей, проинтегрировав выражение (3.6) в пределах от a1 до a2 (где a1 и a2 – соответственно углы между направлением тока в проводнике и направлением на рассматриваемую точку поля), получим
. (3.7)
При симметричном расположении точки М относительно концов проводника cosa1 = - cosa2, тогда
, (3.8)
где
.
Для бесконечно длинного проводника a1®0, a2®¥, тогда
. (3.9)
Направление векторов и совпадает с направлением касательной к цилиндрической поверхности радиуса r. По мере удаления от проводника и убывают по гиперболе (рис. 3.4).
Зная связь между напряженностью и индукцией магнитного поля, можно получить соответствующие формулы для определения индукции магнитного поля:
;
; . (3.10)
Параметры магнитного поля и остаются постоянными для любой точки, лежащей на цилиндрической поверхности, которой принадлежит точка и ось которой совпадает с осью проводника. Это обусловлено цилиндрической симметрией магнитного поля бесконечного линейного тока (рис. 3.5).
3.4.2. Магнитное поле на оси кругового проводника с током
Магнитное поле на оси кругового проводника радиусом R, в котором существует ток I, является результирующим полем от всех элементов проводника (рис. 3.6). Каждый из диаметрально противоположных элементарных участков в точке, лежащей на оси проводника, создает свое собственное поле с напряженностью dH'. Вектор dH направлен под углом q к оси проводника. Разложим dH на две составляющие: dHII, направленную вдоль оси, и dH^, перпендикулярную ей. Из рисунка можно установить, что для каждой пары диаметрально противоположных участков составляющие dH^ равны по величине и противоположны по направлению, а составляющие dHII равны по величине и одинаково направлены. Поэтому при геометрическом сложении элементарных напряженностей dH от всех участков составляющие dH^ взаимно уничтожаются и результирующая напряженность магнитного поля H в точке на оси кругового проводника будет равна алгебраической сумме всех dHII, т.е. интегралу, взятому от dHII по всему круговому контуру :
. (3.11)
Численное значение
, (3.12)
где R - радиус кругового проводника;
r - расстояние от элемента проводника до рассматриваемой точки поля.
Учитывая, что по закону Био-Савара-Лапласа и что a = 90o, можем записать
.
Подставляя последнее выражение в формулу (3.11) и учитывая, что I, R и r для всех участков кругового проводника одинаковы, получим
. (3.13)
Так как = 2pR; , то окончательное выражение напряженности поля примет вид
. (3.14)
Вектор напряженности магнитного поля направлен вдоль оси кругового проводника с током.
Отметим, что при ro = 0, т.е. в центре кругового проводника, напряженность магнитного поля
. (3.15)
На рис. 3.7 показана картина линий напряженности магнитного поля кругового тока.
Для нахождения направления векторов и в точках, лежащих на оси, применяется «правило буравчика»: буравчик располагается вдоль оси кругового тока и вращается по направлению тока, поступательное движение его укажет направление , .
Магнитное взаимодействие токов.
Силы Лоренца и Ампера
Проводники с током (движущимися электрическими зарядами) создают вокруг себя магнитное поле и изменяют окружающее их магнитное поле, следовательно, магнитное поле действует как на движущиеся электрические заряды, так и на проводники с током.
При рассмотрении магнетизма как проявления релятивистского эффекта можно получить
. (3.16)
Формула (3.16) отображает силу, действующую на движущиеся электрические заряды в электромагнитном поле, которая называется обобщенной силой Лоренца.
В выражении (3.16) сила, действующая со стороны магнитной составляющей электромагнитного поля,
(3.17)
перпендикулярна как скорости частицы , так и вектору индукции магнитного поля , а ее величина пропорциональна синусу угла между векторами. Когда векторы и коллинеарны, сила Fm равна нулю.
Направление силы Лоренца определяется с помощью «правила левой руки» (если заряженная частица имеет отрицательный знак, то берется обратное направление) (рис. 3.8).
В вакууме, в однородном постоянном магнитном поле (B = mo×H, где H – напряженность магнитного поля, E = 0) заряженная частица движется по винтовой линии с постоянной по величине скоростью (рис. 3.9). При этом ее движение складывается из равномерного прямолинейного движения вдоль направления и равномерного вращательного движения в плоскости, перпендикулярной . Проекция траектории движения частицы на плоскость, перпендикулярную , представляет собой окружность. Ось винтовой линии совпадает с направлением , и центр окружности перемещается вдоль силовой линии поля.
Электрическая составляющая электромагнитного поля действует на движущиеся электрические заряды с силой
Fe = qE. (3.18)
Формула (3.16) является важнейшим соотношением электродинамики, так как позволяет связать уравнения электромагнитного поля с уравнениями движения заряженных частиц.
Закон, отображаемый формулой (3.16), справедлив не только для постоянных, но и переменных магнитных полей, и притом для любых значений скорости v. На покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует. Кроме того, эта сила не совершает работы, а лишь искривляет траекторию движения частицы, не изменяет ее энергию.
Если E ¹ 0, то движение заряженной частицы в магнитном поле носит более сложный характер. Происходит перемещение центра вращения частицы перпендикулярно полю H, называемое дрейфом частицы. Направление дрейфа определяется вектором [E´H] и не зависит от знака заряда.
Воздействие магнитного поля на движущиеся заряды приводит к перераспределению тока по сечению проводника, что проявляется в различных термомагнитных и гальваномагнитных явлениях (эффект Холла; эффект Нернста-Эттингсхаузена).
Рассмотрим действие магнитного поля на проводники, в которых существуют токи, т.е. когда в движение вовлекаются не отдельные заряды, а очень много заряженных частиц.
Например, допустим, что ток создается движением одинаковых частиц с зарядом «e» и концентрацией n. Тогда j = n×e×v. Число частиц в объеме dV будет dN = n×dV, а сила, действующая в магнитном поле на элемент объема dV,
,
или . (3.19)
Это выражение справедливо и в общем случае, когда носителями тока являются разные заряды.
Для частного случая, когда ток I течет вдоль бесконечно тонкого провода с площадью сечения S, dV = S× , j×dV = jS× , или
, (3.20)
где – вектор, направление которого совпадает с направлением тока;
j×dV - объемный вектор;
I× - линейный элемент тока.
В этом случае на бесконечно короткий участок провода длиной действует сила
. (3.21)
Формула (3.21), определяющая силу, действующую в магнитном поле на линейный элемент тока, была установлена Ампером и носит название закона Ампера.
Силу, действующую на провод конечной длины, можно определить интегрированием (3.21) по всей длине провода:
. (3.22)
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют силами Ампера.
Величина силы, действующей со стороны однородного магнитного поля на прямолинейный проводник с током, пропорциональна силе тока в проводнике, длине проводника, индукции магнитного поля и синусу угла a между направлением тока в проводнике и вектором
. (3.23)
В случае неоднородного поля и проводника произвольной формы
. (3.24)
Из формулы (3.24), если проводник перпендикулярен вектору , имеем
.
Откуда при | | = 1 и |I| = 1
|B| = |F|,
т.е. индукция магнитного поля численно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, в котором существует ток, равный единице, перпендикулярный к направлению магнитного поля.
Отсюда, действительно, индукция магнитного поля является его силовой характеристикой.
Силы Ампера не являются центральными, так как они перпендикулярны силовым линиям магнитного поля.
Рассмотрим два параллельных проводника 1 и 2 (рис. 3.10). По первому протекает ток , по второму - в одинаковом направлении. Вследствие магнитного взаимодействия проводники будут притягиваться. На проводник 2 в магнитном поле первого проводника действует сила Ампера (имеется в виду сила, действующая на отрезок проводника длиной . На бесконечный проводник будет действовать бесконечно большая сила):
.
На единицу длины проводника будет действовать сила, выражаемая формулой
.
Согласно третьему закону Ньютона на единицу длины первого проводника действует такая же по величине и противоположно направленная сила . Если же токи в проводниках антипараллельны, то возникающие силы – силы отталкивания.
Взаимодействие проводников с током наблюдается в действительности. Так, например, в результате взаимодействия токов витки катушки, по которой протекает переменный ток, периодически притягиваются друг к другу. При погружении в жидкую среду такая катушка излучает звуковые колебания.
Лекция №4
(Циркуляция индукции магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля.
Теорема о циркуляции индукции магнитного поля (закон полного тока для магнитного поля) в вакууме.
Применение закона полного тока для расчета магнитных полей. Магнитный поток.)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|