Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы
В тех случаях, когда угловая скорость вращения в одном направлении значительно больше угловых скоростей вращения в двух других направлениях ( генераторы, моторы, турбины, гироскопы), для определения положения тела в качестве трех независимых параметра выбирают три угла Эйлера: угол прецессии ¾y,угол нутации ¾ q, иугол ротации ( собственного вращения) ¾j. Название этих углов заимствованы из астрономии.
Чтобы задать эти углы, рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки О. Пусть даны некоторая система отсчета и связанная с ней неподвижная система координат 0XYZ, относительно которой движется твердое тело, и связанная с твердым телом система координат 0xyz, которая движется относительно первой (рис.3.5). Это означает, что первая и вторая системы координат имеют общее начало O, а углы, образуемые осями 0xyz с осями 0XYZ, изменяются, т.е. система 0XYZ
поворачивается вместе с твердым телом вокруг неподвижной точки 0 (рис.3.5).
На рис.3.5 видно, что плоскость 0XY (изображена в виде заштрихованного овала) пересекает плоскость 0xy (изображена белым овалом) по некоторой прямой 0z(1) =0z(2) = OE, образующей угол y с неподвижной осью 0Z и угол j с подвижной осью 0z, которая называется линией узлов 0Е с единичным ортом . Кроме того, плоскость 0xy образует с плоскостью 0XY угол q, равный углу между осями 0Y и 0y.
Рис.3.5,а
Неподвижная ось ОY, вокруг которойповорачивается твердое тело на угол прецессииy, называется осью прецессии с единичным ортом ¾ .
Изменение угла нутацииq сопровождается вращением твердого тела вокруг линии узлов 0z(1) =0z(2) = OE, называемой осью нутации.
Наконец, угол ротации (собственного вращения)¾ j характеризует вращение тела вокруг оси Oy=Oy(2), называемой осью ротации (собственного вращения) с единичным ортом .
Рис. 3.5,б
На рис 3.5,а-3.5,б показаны все углы положительными, т.е. против хода часовой стрелки, если смотреть на поворот тела с положительных направлений осей вращения OY, OE и Oy соответственно.
Если заданы уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О, а именно: угол прецессии¾ = ,уголнутации¾ = иуголротации (собственного вращения )¾ = ,тоположение твердого тела полностью определяется положением подвижной связанной с твердым телом системы координат 0xyz относительно неподвижной системы координат 0XYZ для любого момента времени..
Формулы преобразования координат.
Поворотные матрицы
Для любой точки М тела с координатами x, y, z ¾в подвижной системе координат Оxyz, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X, Y ,Z ¾в неподвижной системе координат 0XYZ в соответствии с (3.10), взаимосвязь проекций вектора точки на оси двух систем координат [X]Н и [x]П имеет вид:
(3.14)
или в матричном виде
или (3.15)
где = , = ,
= ¾ углы Эйлера ;
Рис.3.6 ¾ матрица,
транспонированная к матрице направляющих косинусов , задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы OXYZ (с базисом [X]Н )к осям подвижной системы Оxyz (с базисом [x]П), неизменно связанной с телом. Транспонированная матрица получается путем замены в матрице
Рис.3.7
строк на столбцы. Выражение получается в результате рассмотрения формул преобразований координат при переходе от одной системы к другой: [X]Н)® [x](1)®[x](2) ®[x]П , из которых две системы [x] (1) и [x] (2) -¾ промежуточные.
1. Переход от осей системы[X]Н к осям системы [x] (1) осуществляется поворотом на угол прецессии вокруг неподвижной оси OY ¾ прецессии системы [X]Н (рис.3.6 -3.8,а).
2. Переход от осей системы[x] (1) к осям системы[x] (2) осуществляется поворотом на уголнутации вокруг оси системы [x] (1) (рис.3.6-3.8,б).
3. Переход от осей системы [x] (2)к осям системы[x]П -¾ поворотом на уголротации (собственного вращения ) вокруг оси системы[x] (2).
Рис.3.8
Рассмотрев переход от системы ОXYZ ([X]Н) к системе Оxyz ([x]П ), выполненный с помощью трех поворотов, получаем следующие формулы для преобразования координат:
1) поворот системы ОXYZ вокруг второй из координатных осей ОY на угол прецессии, т.е. [X]Н®[x]1), ОXYZ ® , причем (рис.3.6 -3.8,а).
Координаты систем координат 0XYZ и 0x(1) y(1) z(1), как видно на рис.3.8,a , связаны соотношениями
X= x(1) cos y + 0 + z(1) sin y ,
Y = 0 + y(1) + 0 ,
Z = - x(1) sin y + 0 + z(1) cos y ,
или в матричной форме:
[X] ={a2y} т [x(1)], (3.16)
где матрица {a2y} т = . (3.17)
описывает поворот вокруг второй оси 0Y на угол прецессии .
2) поворот системы вокруг третьей из координатных осей на уголнутации , т.е. [x]1) ®[x](2) , ® , при этом (рис.3.6-3.8,б).
Формулы преобразования координат, как видно на рис.3.8,.б, при этом таковы:
x(1) = x(2) cos q - y (2) sin q + 0 ,
y(1) = x(2) sin q + y (2) cos q + 0 ,
z (1) = 0 + 0 + z (1),
или в матричной форме:
[x(1)] = {a3q } т [x(2)], (3.18)
где матрица {a3q } т = . (3.19)
описывает поворот вокруг оси 0z(1) на угол нутации q.
3) поворот системы вокруг второй из координатных осей на уголротации (собственного вращения ) ,т.е..[x](2) ®[x]П ,(рис.3.6 -3.8,а) ®Cxyz, поэтому формулы преобразования координат, как видно из рис.3.8,а, имеют вид:
x(2) = x cos j + 0 + z sin j ,
y(2) = 0 +y + 0 ,
z(2) = - x sin j + 0 + z cos j ,
или в матричной форме:
[x(2) ] = { a2j }т [x], (3.20)
поворотная матрица { a2j }т имеет вид матрицы (4.17) ¾{a2y} т,
{a2j} т = . (3.21)
Подставляя в соотношение (3.16) ¾ [X] ={a2y} т [x(1)] соотношение (3.18) ¾ [x(1)] = = {a3q } т [x(2)], получаем промежуточные соотношения, которые могут понадобиться в дальнейшем, а именно:
[X] ={a2y} т {a3q} т [x(2)] или (3.22)
Промежуточная поворотная матрица {a2y,3q }т находится как произведение двух матриц поворота, а именно:
{ a2y,3q }т = { a2y}т {a3q } т = (3.23
= =
Подставляя в соотношение (3.16) ¾ [X] ={a2y} т [x(1)] соотношение (3.18) ¾ [x(1)] = = {a3q } т [x(2)], в котором [x(2) ] представлено в виде (3.20) ¾ [x(2) ]= { a2j }т [x], получаем
[X] ={a2y} т {a3q} т {a2j }т [x]. (3.24)
Сравнивая выражения (3.15) ¾ и (3.24), находим, что искомая поворотная матрица является произведением трех матриц поворота (3.17), (3.19), (3.21), а именно:
{ ay,q,j } т = = { a2y} т { a3q } т { a2j } т =
= =
(3.25)
При заданном законе сферического движения выражения (3.15) и (3.25) позволяют определить искомый закон движения и траекторию выбранной точки тела.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|