Интегральный признак Коши
Глава VI. РЯДЫ
Числовые ряды
1. Основные понятия
Пусть дана бесконечная числовая последовательность а1, а2, а3,…, аn,…, где аn = f(n), n Î N. Выражение вида
а1 + а2 + а3 + … + аn + … = (6.1)
называют числовым рядом.
Числа а1, а2, а3,..., аn называют членами ряда, аn = f(n) - общим членом ряда. Будем полагать, что аi Î R, где i = 1, 2,…, n,…
Определение 1. Суммы конечного числа членов ряда (6.1), начиная с первого, S1 = a1, S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3,…, Sn = a1 + a2 + a3 + … + an называются его частичными суммами.
Определение 2. Ряд (6.1) называется сходящимся, если его частичная сумма Sn при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т. е.
.
Число S называют суммой ряда. Если предел частичной суммы равен бесконечности или не существует, то ряд называется расходящимся.
Нетрудно показать, что ряд
а + аq + aq2 +…+ aqn + … = ,
составленный из членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии (знаменатель прогрессии |q| < 1 ), сходится, причем его сумма S = .
2. Свойства сходящихся рядов
1. Если ряд сходится и суммой его является число S, то для произвольного числа k ряд также сходится, причем его сумма равна k S.
2. Если сходятся ряды , имеющие соответственно суммы S и s, то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно S ± s.
Следствие 1. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть ряд расходящийся.
Следствие 2. Сумма (разность) расходящихся рядов может быть и сходящимся и расходящимся рядом.
3. Если в ряде добавить или отбросить конечное число членов, то получится ряд, сходящийся или расходящийся одновременно с данным. В случае сходимости полученного ряда его сумма отличается на сумму добавленных или отброшенных членов.
Записав ряд (6.1) в виде
а1 + а2 + … + аn + an+1 + an+2 + … = ,
обозначим сумму an+1 + an+2 + … = и будем называть ее в дальнейшем n-м остатком ряда или его остаточным членом. Очевидно, что в случае сходимости ряда (6.1), rn = S – Sn.
Следствие 3. Если ряд (6.1) сходится, то его остаток rn = an+1 + an+2 +… стремится к нулю при n ® ¥.
3. Необходимый признак сходимости ряда
Теорема 1.Если ряд сходится, то предел его общего члена при
n ® ¥ равен нулю, т.е.
.
Следствие 4. Если предел общего члена ряда отличен от нуля или не существует при n ® ¥, то такой ряд расходится.
Пример 1. Используя необходимый признак сходимости, исследовать сходимость ряда
.
Решение. Вычислим предел общего члена ряда аn = при n ® ¥.
= е ¹ 0.
По необходимому признаку сходимости данный ряд расходится.
Условие Теоремы 1 является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Примером расходящегося ряда, удовлетворяющего необходимому признаку сходимости, является гармонический ряд
1+ .
Написать четыре-пять членов ряда по заданному общему члену аn и проверить выполняется ли необходимый признак сходимости
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. .
Написать формулу общего члена ряда и проверить выполняется ли необходимый признак сходимости
7. ;
8. ;
9. ;
10. …;
11. ;
12. .
Проверить выполняется ли необходимый признак сходимости ряда
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. .
4. Достаточные признаки сходимости рядов
С положительными членами
Первый признак сравнения
Пусть даны два ряда с неотрицательными членами
, (6.2)
bn ³ 0.(6.3)
и для всех n выполняется условие an ³ bn. Тогда из сходимости ряда (6.2) следует сходимость ряда (6.3); а из расходимости ряда (6.3) - расходимость ряда (6.2).
Замечание.Этот признак остается в силе, если неравенства an ³ bn выполняются, начиная с некоторого номера n = N.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Проверим сначала, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда
.
Необходимый признак выполняется и, следовательно, ряд может как сходиться, так и расходиться.
Для дальнейшего исследования сходимости ряда воспользуемся достаточным признаком – первым признаком сравнения.
Для сравнения выберем ряд , члены которого больше соответствующих членов исследуемого ряда, т.е. . Ряд составлен из членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии (знаменатель прогрессии q = < 1) и, следовательно, сходится. Тогда согласно первому признаку сравнения исследуемый ряд сходится.
Второй признак сравнения
Если существует конечный, отличный от нуля предел отношения общих членов рядов и (аn > 0, bn > 0) при n, стремящемся к бесконечности, т. е. (S = const), то оба ряда в смысле сходимости ведут себя одинаково.
Пример 3.Исследовать сходимость ряда .
Решение. Воспользуемся вторым признаком сравнения. Сравним данный ряд с гармоническим рядом , общий член которого .
.
Таким образом, согласно второму признаку сравнения, из расходимости гармонического ряда следует расходимость ряда .
Замечание. В качестве рядов для сравнения необходимо выбирать ряды, сходимость или расходимость которых известна.
Признак Даламбера
Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел .
Тогда:
1) если r < 1, то ряд сходится;
2) если r > 1, то ряд расходится;
3) если r = 1, то признак не определяет поведение ряда, необходимо использовать другие достаточные признаки сходимости.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем ,
< 1.
Следовательно, данный ряд сходится по признаку Даламбера. Радикальный признак Коши
Пусть дан ряд (аn ³ 0) и существует предел .
Тогда:
1) если r < 1, то ряд сходится;
2) если r > 1, то ряд расходится;
3) если r = 1, то признак не определяет поведения ряда, необходимо использовать другие признаки.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Здесь удобно воспользоваться радикальным признаком Коши, так как и предел этой дроби при n ® ¥ легко вычисляется:
< 1.
Следовательно, данный ряд сходится по радикальному признаку Коши.
Интегральный признак Коши
Пусть дан ряд и f(x) – непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция такая, что f(n) = an, где n Î [m; +¥). Тогда данный ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .
Пример 6. Исследовать сходимость ряда (a > 0).
Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого положим , m = 1. Тогда
=
Как следует из данного примера, данный обобщенный гармонический ряд сходится при a > 1 и расходится при a< 1 (a = 1 соответствует расходящемуся гармоническому ряду).
Исследовать на сходимость ряды при помощи
признаков сравнения
19. ; 20. ; 21. ;
22. ; 23. ; 24. ;
25. ; 26. ; 27. .
Исследовать на сходимость ряды при помощи
признака Даламбера
28. ; 29. ; 30. ;
31. ; 32. ; 33. ;
34. ; 35. ; 36. .
Исследовать на сходимость ряды при помощи
радикального признака Коши
37. ; 38. ;
39. ; 40. .
Исследовать на сходимость ряды при помощи
интегрального признака Коши
41. ; 42. ; 43. ;
44. ; 45. ; 46. .
Исследовать ряды на сходимость
47. ; 48. ; 49. ;
50. ; 51. ; 52. ;
53. ; 54. ; 55. ;
56. ; 57. ; 58. ;
59. ; 60. ; 61. .
Знакопеременные ряды
Определение 1. Ряд называется знакопеременным, если среди его слагаемых есть и положительные, и отрицательные.
1. Знакочередующиеся ряды
Определение 2. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные его члены следуют друг за другом поочередно.
Признак Лейбница
(достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда)
Теорема 1. Знакочередующийся ряд
(6.4)
сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают с ростом порядкового номера, и общий член его стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности, т. е. если выполняются условия:
1. а1 > а2 > а3 > … > аn > … ;
2. .
При этом суммаS ряда (6.4) удовлетворяет неравенству
0 £ S £ a1 .
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
…
Решение. Ряд знакочередующийся, поэтому применим признак Лейбница.
1. Вычислим модуль отношения (n+1)-го и n-го членов ряда.
,
следовательно, слагаемые ряда убывают по модулю с ростом n; действительно
2. .
Оба условия признака Лейбница выполнены, следовательно, данный ряд сходится.
2. Абсолютная и условная сходимость рядов
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|