Шестнадцатеричная позиционная система счисления
В шестнадцатеричной позиционной системе счисления для записи произвольных чисел используются шестнадцать цифр, десять из которых от 0 до 9 по изображению совпадают с арабскими цифрами, а для изображения оставшихся шести обычно используют латинские буквы от до . Таким образом, ряд шестнадцатеричных цифр имеет вид 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
Основание системы счисления (число шестнадцать) записывается двумя цифрами в виде . Любые числа шестнадцатеричной системы счисления представляются в виде последовательности шестнадцатеричных цифр.
Например, десятеричное число в шестнадцатеричной системе счисления будет записано с точностью до четвертого знака после запятой следующим образом:
(здесь 10 означает число 16) и все операции должны выполняться в шестнадцатеричной системе счисления.
Правильность изображения в шестнадцатеричной системе десятичного числа легко проверить, переписав правую часть равенства в десятеричной системе счисления, помня, что , и произведя в этой системе соответствующие арифметические операции с учетом оговоренной выше точности перевода дробной части. Проделав все это, получим:
.
Сложение, вычитание, умножение и деление шестнадцатеричных чисел производится по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. При этом, однако, следует пользоваться шестнадцатеричными таблицами сложения-вычитания (табл. 1.6) и умножения (табл. 1.7).
Правила пользования этими таблицами аналогичны правилам пользования соответствующими восьмеричными таблицами.
Примеры:
Сложение Вычитание
A2C, F47 F13, 7F4
+ 8B1, D98 – 3D4, E2F
12DE, CDF B3E, 9C5
Таблица 1.6
Таблица сложения - вычитания шестнадцатеричных чисел
+
–
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A
|
B
|
С
|
D
|
E
|
F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| B
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1A
| C
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1A
| 1B
| D
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1A
| 1B
| 1C
| E
| E
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1A
| 1B
| 1C
| 1D
| F
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1A
| 1B
| 1C
| 1D
| 1E
|
Таблица 1.7
Таблица умножения шестнадцатеричных чисел
х
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
| B
| C
| D
| E
| F
|
|
|
|
|
|
| A
| C
| E
|
|
|
|
|
| 1A
| 1C
| 1E
|
|
|
|
|
| C
| F
|
|
|
| 1B
| 1E
|
|
|
| 2A
| 2D
|
|
|
|
| C
|
|
|
| 1C
|
|
|
| 2C
|
|
|
| 3C
|
|
|
| A
| F
|
|
| 1E
|
|
| 2D
|
|
| 3C
|
|
| 4B
|
|
|
| C
|
|
| 1E
|
| 2A
|
|
| 3C
|
|
| 4E
|
| 5A
|
|
|
| E
|
| 1C
|
| 2A
|
|
| 3F
|
|
|
| 5B
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1B
|
| 2D
|
| 3F
|
| 5B
| 5A
|
| 6C
|
| 7E
|
| A
|
| A
|
| 1E
|
|
| 3C
|
|
| 6A
|
| 6E
|
|
| 8C
|
| B
|
| B
|
|
| 2C
|
|
| 4D
|
|
| 6E
|
|
| 8F
| 9A
| A5
| C
|
| C
|
|
|
| 3C
|
|
|
|
|
|
|
| 9C
| A8
| B4
| D
|
| D
| 1A
|
|
|
| 4E
| 5B
|
|
|
| 8F
| 9C
| A9
| B6
| C3
| E
|
| E
| 1C
| 2A
|
|
|
|
|
| 7E
| 8C
| 9A
| A8
| B6
| C4
| D2
| F
|
| F
| 1E
| 2D
| 3C
| 4B
| 5A
|
|
|
|
| A5
| B4
| C3
| D2
| E1
| Примеры:
Умножение Деление
A2B, 3B 2F8D, CD:4CE, D3=
3E5, F4 = B4A, 2F.
1 FF9, FC Все операции производятся в
шестнадцатеричной системе счисления
Для наглядности и удобства пользования в дальнейшем сведем в одну таблицу числа, представленные в рассмотренных выше системах счисления в диапазоне от 0 до 20 (табл.18).
Таблица 1.8
Десятичная система
| Двоичная система
| Восьмеричная система
| Шестнадцатеричная система
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A
|
|
|
| B
|
|
|
| C
|
|
|
| D
|
|
|
| E
|
|
|
| F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Перевод целых чисел
Пусть - целое число, записанное в системе счисления с основанием .
Пусть - основание другой системы счисления, записанное в исходной -ичной системе счисления, причем .
Требуется перевести число из системы счисления с основанием в систему счисления с основанием .
Предположим, что изображение числа в -ичной системе счисления найдено и имеет следующий вид:
, (1.1)
где - цифры -ичной системы, а 10 – основание этой системы, т.е. .
С учетом того, что , а , заменим в правой части равенства (1.1) числа и 10 их -ичными изображениями и . Тогда получим:
. (1.2)
Деля обе части равенства (1.2) на , имеем:
, (1.3)
где представляет собой правильную дробь, поскольку .
Из равенства (1.3) видно, что при делении числа на остаток равен , а частным будет
.
Если теперь частное разделить на , то получим в остатке , а в новом частном
.
Выполняя этот процесс деления раз, можно последовательно найти все числа , причем последнее частное будет иметь вид
.
Из сказанного вытекает следующее общее правило перевода целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую для любых оснований и .
Правило перевода.Путем последовательного деления числа и его частных на получают в виде остатков деления -ичные записи -ичных цифр (начиная с младшей), необходимые для изображения числа в -ичной системе счисления. Последовательное деление производится до тех пор, пока не получится частное, меньшее чем . Это последнее частное является старшей -ичной цифрой числа . Деление выполняется в исходной, т.е. в -ичной системе счисления.
Пример.
Пусть .
Требуется перевести десятичное число в двоичную систему счисления, т.е. найти число .
Операция Частное Остаток
189 : 2 = 94 + 1
94 : 2 = 47 + 0
47 : 2 = 23 + 1
23 : 2 = 11 + 1
11 : 2 = 5 + 1
5 : 2 = 2 + 1
2 : 2 = 1 + 0
1
Таким образом, двоичная запись десятичного числа имеет следующий вид: .
Проверка правильности перевода:
.
Пример.
Пусть .
Требуется перевести десятичное число в восьмеричную систему счисления, т.е. найти число .
Операция Частное Остаток
189 : 8 = 23 + 5
23 : 8 = 2 + 7
2
Таким образом, восьмеричная запись числа имеет следующий вид: .
Проверка правильности перевода:
.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|