Основное уравнение гидростатики
Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила - сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.
По основному уравнению гидростатики определяется абсолютное давление в любой точке покоящейся жидкости.
Рисунок 7 — Схема к выводу основного уравнения
гидростатики
| Определим абсолютное давление в точке М покоящейся жидкости на глубине h (рисунок 7).
Выделим цилиндрический объём жидкости высотой h с площадью основания S.
Этот объём жидкости находится в покое (в равновесии). Условие равновесия выделенного объёма жидкости в вертикальном направлении (сумма всех сил, действующих на выделенный объём жидкости в вертикальном направлении равна нулю):
| (14)
где РS — сила давления жидкости на цилиндр снизу; РоS — сила давления жидкости на цилиндр сверху; G = rgV = rghS — вес цилиндрического столба жидкости.
Тогда равенство (14) запишется:
(15)
Разделив обе части равенства (15) на S # 0, получим:
(16)
Равенство (16) — основное уравнение гидростатики.
Проведем на глубине h горизонтальную поверхность О-О. Давление во всех точках этой поверхности будет одинаковым, так как h = const:
поэтому любая горизонтальная поверхность, проведённая в однородной покоящейся жидкости, является поверхностью равного давления(следствие из основного уравнения гидростатики).
Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности P0. Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.
Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. В обычных условиях поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости, а свободная поверхность является одной из поверхностей уровня.
Возьмем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения, от которой вертикально вверх будем отсчитывать координаты z. Обозначив через z координату точки М, через z0 – координату свободной поверхности жидкости и заменив в уравнении (17) h на z0-z, получим
(17)
Так как точка М взята произвольно, можно утверждать, что для всего рассматриваемого объема жидкости
Координата z называется геометрической высотой. Величина имеет линейную размерность и называется гидростатическим напором.
Таким образом, гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости.
Закон Паскаля и его техническое применение
Рисунок 8 — Схемы, иллюстрирующие передачу давления в покоящейся жидкости
В соответствии с основным уравнением гидростатики (16) абсолютные давления в произвольно выбранных точках жидкости А, В, С будут соответственно равны:
ра = ро + pghA,
рВ = ро + pghB,
рс= ро + pghc.
Поместим на свободную поверхность жидкости, находящейся в равновесии в резервуаре (рисунок 6 а)поршень и приложим к нему силу Ро, в результате чего со стороны поршня на жидкость возникает давление Р0.
Из анализа полученных уравнений видно, что абсолютные давления в точках жидкости, находящихся на разной глубине, будут различные, однако внешнее давление, производимое на свободную поверхность жидкости в замкнутом сосуде, передается во все её точки без изменения. В этом заключается закон Паскаля.
Практически закон Паскаля используется в ряде гидравлических машин: гидравлических прессах и подъемниках, объемных насосах и гидродвигателях и др.
На рисунке 8 бприведена принципиальная схема гидравлического пресса. Прикладывая к меньшему поршню силу Р1, создаем в жидкости давление
или
которое в соответствии с законом Паскаля передаётся во все точки жидкости, в том числе и на больший поршень, вызывая на нём силу:
(18)
Дифференциальные уравнения Эйлера равновесия
Жидкости
Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы.
Рисунок 9 — К выводу
дифференциальных уравнений Эйлера равновесия жидкости
| В покоящейся жидкости произвольно расположим прямоугольные оси координат. В пределах этих осей выделим элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz,параллельными осям координат (рисунок 7). Предположим, что жидкость в этом объеме затвердела.
| Тогда на гранях параллелепипеда действуют силы давления Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6, а в его центре тяжести приложена равнодействующая всех массовых сил Q.
Параллелепипед находится в равновесии. Напишем условие равновесия для оси х:
(19)
Если принять, что р1 = р, то в связи с изменением координаты на величину dx
Проекция на ось х равнодействующей массовой силы Q найдётся из уравнения
где проекция ускорения массовой силы Q на ось х.
Подставляя и в уравнение (18) и сокращая на объём dxdydz, получим:
или, разделив обе части последнего равенства на r:
Проведя аналогичные рассуждения для условий равновесия относительно двух других осей, получим систему дифференциальных уравнений, носящих имя Эйлера:
(20)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|