Момент инерции площади плоской фигуры
Моментом инерции I материальной точки М с массой m, относительно некоторой точки 0 называется произведение массы m на квадрат ее расстояния r от точки 0:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image424.png)
Момент инерции системы материальных точек относительно точки 0 есть сумма моментов инерции отдельных точек системы: .
Найдем момент инерции материальной плоской фигуры s. Пусть область s расположена в плоскости OXY и поверхностная плотность всюду равна единице .
Разобъем область s на элементарные площадки на каждой площадке возьмем точку с координатами .
Элементарным моментом инерции площадки Dsi будет произведение массы площадки Dsi на квадрат расстояния ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image437.png)
т.е.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image439.png)
Составим сумму таких моментов: , которая представляет собой интегральную сумму для функции ¦(x,y) = x²+y², по области s.
Пусть диаметр каждой элементарной площадки Dsi ®0, тогда предел этой интегральной суммы будет двойной интеграл .
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image445.png)
Следовательно, момент инерции области s относительно начала координат равен
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image447.png)
где s - область, совпадающая с данной плоской фигурой.
Интегралы
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image449.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image451.png)
называются соответственно моментами инерции области s относительно осей OX и OY.
Замечание
Если поверхностная плотность не равна единице, а есть функция от x и y,
т.е. m=m(x,y), то момент инерции плоской фигуры относительно начала координат
Координаты центра тяжести плоской фигуры
Координаты центра тяжести системы материальных точек с массами определяются по формулам:
(1)
Найдем координаты центра тяжести плоской фигуры s.
Разобьем фигуру s на n частей Ds1, Ds2¼Dsn .
Пусть поверхностная плотность mº1, тогда масса Dsi будет равна ее площади.
Считаем, что масса элементарной площадки Dsi сосредоточена в точке тогда фигуру s рассмотрим как систему материальных точек. По формулам (1) координаты центра тяжести этой фигуры будут приближенно определяться равенствами:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image461.png)
Пусть Dsi ®0, тогда предел этих интегральных сумм будет равен двойному интегралу, т.е.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image463.png)
Примечание
Если фигура имеет любую переменную во всех точках поверхностную плотность: m=m(x,y), то
Выражения
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image467.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image469.png)
называются статическими моментами плоской фигуры s относительно осей OY и OX.
Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.
Примеры
1. Вычислить объем тела ограниченного поверхностями :
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image473.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image475.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image477.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image479.png)
2.Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра (радиусы r1 и r2) (r2 >r1)
Если δ(М) - поверхностная плотность в точке М(х, у) плоской фигуры (или материальной пластинки) которая занимает обдасть D, то ее масса вычисляется по формуле
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image481.png)
В данном случае δ(М) = к/ρ , где к – коэффициент пропорциональности, ρ – расстояние точки М(х, у) от начала координат. Обозначим радиусы окружностей, ограничивающих кольцо через r1 и r2 (r2 >r1). Разместим полюс полярной системы кординат в центре кольца, и запишем уравнения окружностей
ρ = r1 , ρ = r2
Массу всего кольца найдем по приведенной формуле, преобразовав ее к полярной системе координат
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image483.png)
3. Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной кардио идой ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image485.png)
Разместим полюс в начале координат прямоугольной декартовой системы координат и направим полярную ось вдоль ОХ. Из-за того, что фигура симметрична относительно ОХ, ус = 0. Найдем хс.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image488.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image490.png)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image494.png)
ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ “ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ”
Вариант 1
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image500.png)
3. Вычислить где D: ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image504.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image506.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image514.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image518.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image520.png)
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image522.png)
10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линей , если поверхностная плоскость в каждой ее точке .
11. Найти центр тяжести однородной фигуры D: (полуовал).
12. Найти центр тяжести фигуры , если поверхностная плотность в каждой ее точке равна ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image534.png)
13. Вычислить момент инерции круга радиусом R относительно касательной.
14. Вычислить момент инерции площади фигуры относительно полюса (0,0).
Вариант 2
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image542.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image546.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image548.png)
5. Найти S области D, фигуры изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image552.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image556.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image558.png)
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
.
10. Найти массу кругового кольца ( <R),ограниченной указанными линиями, если в каждой ее точке обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до центра кольца.
11. Вычислить координаты центра тяжести фигуры D, ограниченной кардиоидой ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image568.png)
12. Найти координаты центра тяжести фигуры ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image570.png)
если поверхностная плотность в каждой ее точке равна ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image574.png)
13. Вычислить момент площади эллипса относительно оси OY.
14. Вычислить момент площади прямоугольника, ограниченного прямыми относительно начала координат (0,0).
Вариант 3
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image582.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image586.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image588.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image594.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image598.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image600.png)
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image604.png)
10. Наитй массу пластинки, ограничекнной линией если плотность в каждой ее точке равна расстоянию от точки до начала координат.
11. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривой и прямой OA, проходящей через точки (0,0) и синусоиды.
12. Найти центр тяжести круговой пластинки если поверхностная плотность в каждой ее точке пропорционально расстоянию этой точки до точки А(0;0).
13. Найти момент инерции однородного треугольника D: y = 5, y = x+1,
y =2x+7 относительно оси OX.
14. Найти момент инерции круга радиусом R относительно точки на окружности (0,0).
Вариант 4
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image619.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image623.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image625.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image628.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.
7. где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image634.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image638.png)
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image628.png)
10. Наитй массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами OB = a; OA = b, если в каждой ее точке равна расстоянию от катете OA.
11. Найти центр тяжести однородного кругового сектора с центральным углом 2a, радиусом R.
12. Найти центр тяжести фигуры D: и если поверхностная плотность в каждой ее точке пропорциональна расстоянию ее до оси OY.
13. Вычислить момент инерции треугольника D: относительно оси OX.
14. Вычислить момент инерции эллипса относительно начала координат (0,0).
Вариант 5
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image655.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image659.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image661.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
D: = 4х; у =х, х = о.
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image669.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image630.png)
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image675.png)
10. Найти массу фигуры, ограниченной линией если поверхностная плоскость в каждой ее точке ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image679.png)
11. Найти центр тяжести однородной фигуры – кругового сегмента, соответствующего центральному углу a, радиус круга R.
12. Найти центр тяжести фигуры D: если в каждой ее точке равна расстоянию ее до оси OX.
13. Вычислить момент инерции фигуры D: относительно оси OX.
14. Найти момент инерции фигуры относительно полюса (0,0).
Вариант 6
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image691.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image695.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image699.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image701.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image705.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
.
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image709.png)
10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image713.png)
11. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболами ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image715.png)
12. Найти координаты центра тяжести фигуры если поверхностная плоскость в каждой ее точке равна xy.
13. Найти момент инерции фигуры относительно оси OY.
14. Вычислить момент инерции фигуры относительно полюса .
Вариант 7
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image729.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image733.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image737.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image740.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image744.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
.
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image748.png)
10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией если поверхностная плоскость в каждой ее точке ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image752.png)
11. Определить центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной кривыми: ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image754.png)
12. Найти центр тяжести фигуры если поверхностная плоскость в каждой ее точке равна .
13. Найти момент инерции фигуры относительно оси OY.
14. Вычислить момент инерции фигуры относительно полюса (0,0).
Вариант 8
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image766.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image769.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image773.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
(меньший из сегментов).
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image780.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
.
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image784.png)
10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке (I-я четверть)
11. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривыми и и расположенной в I-й четверти.
12. Найти координаты центра тяжести фигуры если плотность в каждой ее точке пропорциональна расстоянию ее до точки A(0,0).
13. Найти момент инерции равнобедренного треугольника относительно его высоты. Основание треугольника a см, высота h см.
14. Найти момент инерции фигуры, ограниченной линией относительно полюса (0,0).
Вариант 9
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image800.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image804.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image806.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image808.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image812.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image814.png)
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image816.png)
10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image820.png)
11. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной окружностью эллипсом и лежащей в I-й четверти.
12. Найти центр тяжести фигуры если плотность в каждой ее точке равна ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image828.png)
13. Найти момент инерции фигуры относительно полярной оси.
14. Найти момент инерции фигуры относительно O (0,0).
Вариант 10
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image836.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image840.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image842.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image844.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image848.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image850.png)
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image852.png)
10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке .
11. Найти центр тяжести однородной пластины, ограниченной линиями ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image858.png)
12. Найти центр тяжести фигуры , если поверхностная плотность в каждой ее точке равна ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image862.png)
13. Найти момент инерции равнобедренной трапеции относительно прямой, соединяющей середины оснований. Размры: большее основание a см, b см, высота h см.
14. Найти момент инерции кругового кольца диаметром d и D ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image864.png)
относительно его центра.
Вариант 11
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image868.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image872.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image874.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image876.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image880.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image882.png)
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image884.png)
10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image888.png)
11. Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image890.png)
12. Найти центр тяжести фигуры если в каждой ее точке.
13. Найти момент инерции эллиптического кольца, образованного двумя эллипсами, с общим центром и совпадающими осями (концентрические эллипсы). Оси внешнего эллипса a см, b см, а внутреннего a1 см и b1 см.
14. Найти момент инерции однородного круга радиусом R относительно его центра.
Вариант 12
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image898.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image902.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image904.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image906.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image908.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image910.png)
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image912.png)
10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image916.png)
11. Найти центр тяжести однородной тонкой фигуры, ограниченной линиями ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image918.png)
12. Найти центр тяжести фигуры если поверхностная плотность в каждой ее точке равна ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image922.png)
13. Найти момент инерции однородного сегмента параболы с хордой, перпендикулярной к оси относительно оси OX
14. Вычислить полярный моменте инерции однородной фигуры т.е. относительно начала координат (0,0).
Вариант 13
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image928.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image932.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image934.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image936.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле
где I квадрант
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
D: ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image942.png)
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image944.png)
10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке .
11. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осями координат и линиями ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image950.png)
12. Найти центр тяжести фигуры если поверхностная плотность в каждой ее точке равна ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image954.png)
13. Найти момент инерции фигуры D: относительно оси OY.
14. Найти момент инерции фигуры относительно точки O (0,0).
Вариант 14
1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image962.png)
3. Вычислить где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image966.png)
4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image968.png)
5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.
6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image970.png)
7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле
где ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image974.png)
8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202907698404.files/image976.png)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|