Вычисление площади в полярной системе координат и кривой заданной параметрически.
Если в декартовой системе координат вычисляется площадь криволинейной трапеции, то в полярной системе вычисляется площадь криволинейного сектора.
Определение: Криволинейным сектором называется фигура, заключенная между двумя лучами, выходящими из полюса под углами j=a и j=b и кривой, заданной в полярной системе координат r=r(j).
Разобьем криволинейный сектор лучами j=j i, i = 0…n на части a=j0 <j1<j2<…<jn=b
j =a, j =b, r =r(j).
В каждой части произвольным образом выбираем точку Ci и вычисляем в ней значение ri =r(Ci) угол i- части . Заменим площадь i- части площадью кругового сектора = = = =
Просуммируем площади всех круговых секторов .
Сумма этих площадей приближенно равна площади исходного криволинейного сектора. Причем, чем больше будет частей разбиения, тем меньше будет Dji , тем точнее будет равенство.
В ПСК S= .
Вычисление длины дуги кривой в декартовой системе координат.
Нужно вычислить длину плоской кривой L, заданной уравнением y=f(x) на отрезке [a,b].
Разобьем отрезок на части точками xi где I=0…n, a=x0<x1<x2<…<xn=b.
Через эти точки проведем прямые параллельные оси OY, которые разобьют кривую на M частей. Выпишем в эти части ломанную.
Длина I-ого звена ломанной: Dli=
Просуммируем сумма длин звеньев ломанной приближенно равна длине кривой. Переходя к пределу: = =
Пример: Вычислить длину полукубической параболы , где , x=0, x=1. = = =
Вычисление длины дуги в полярной системе координат и кривой заданной параметрически.
В декартовой системе координат длина дуги L= . Рассмотрим подынтегральное выражение внесем dx под корень - это выражение называется дифференциалом дуги. L= .
Если кривая L задана параметрически.
= =
Длина кривой заданной параметрически, выражается через определенный интеграл L= .
Замечание: При вычислении длины кривой заданной параметрически нижний предел интегрирования должен быть меньше верхнего предела интегрирования.
Пример: Найти длину 1 арки циклоиды.
| Вычислим длину 1 арки циклоиды
|
| = = = = = = ==
L= = = = =-4(-1-1)=
=8 (ед)
Если кривая L задана в полярной системе координат
= =
= =
=
Длина дуги кривой в полярной системе координат L=
Пример: Вычислить длину кардиоиды . В силу симметричности кривой вычислим ½ длины. Полярный угол ½L= = =
= = = = =
= =
½L= = =4(1-0)=4 Þ L=4*2=8 (ед).
Объем тела через площадь поперечного сечения.
Пусть дано некоторое тело и известно, что площадь поперечного сечения плоскости перпендикулярна оси OX. Разобьем тело на части плоскостями x=xi перпендикулярными оси OX. Отрезок [a,b], лежащий на оси OX, разобьется соответственно точками xi на n частей: a=x0<x1<x2<…<xn=b. Dxi = xi+1 – xi - длина [xi ; xi+1]. В каждой точке x принадлежащей отрезку [a,b] известно поперечное сечение этого тела, то есть площадь поперечного сечения является функцией от x(S(x)). На i отрезке выберем произвольную точку Ci и заменим объем i части тела объемом прямого цилиндра Vi = Sосн × высоту=S(Ci) × Dxi ; объем тела приближенно равен сумме объемов прямых цилиндров VT » ; Причем равенство будет тем точнее, чем больше частей разбиения тела и чем меньше длина отрезка Dxi . Переходя к пределу получаем VT= . Этот предел интегральных сумм является определенным интегралом где S(x) – площадь поперечного сечения.
Объем тела вращения.
Определение: Если криволинейная трапеция ограничена линиями y=0; x=a; x=b; y=f(x), где f(x)³0 вращается вокруг оси OX, то полученное тело называется телом вращения вокруг оси OX.
Как известно, объем тела выражается через площадь поперечного сечения по формуле: . В данном случае поперечными сечениями являются круги радиусом Rкр=f(x); Sкр=S(x) = pf 2(x) Þ VOX= . Если криволинейная трапеция ограниченная линиями вращается вокруг оси OY, то объем полученного тела вращения VOY=
Замечание: Если фигура не является криволинейной трапецией, то ее нужно разбить на нужные части, либо достроить нужные части и вычислять объем тела вращения, как неполый через сумму или разность объемов частей.
Пример: Вычислить объемы тел вращения, ограниченного линиями y=0; x=0; x=1; y=ex.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|