Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям,
Таблица основных интегралов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб. для вузов: в 3т.-5-е изд., стер. - М.: Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник). Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. - 2003. - 509 с.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. - 22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003. - 432 с.
3. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд.-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.
5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, 1 часть. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2002. – 288 с.: ил.
Образец решения варианта
Задание 1: Вычислить интеграл:
а)
| б)
| в)
| г)
| д)
| е)
| ж)
| з)
| и)
| к)
| л)
| м)
| н)
| о)
| п)
| р)
| с)
| т)
| у)
| ф)
|
| Решение:
а) Найдем интеграл, применив свойства неопределенного интеграла и формулы (1) и (2) табличного интегрирования:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image068.gif)
Интегралы (б – л) решим методом замены переменной.
б) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image070.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (2)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image072.gif)
в) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image074.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (12)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image076.gif)
г) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image078.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (4)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image080.gif)
д) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image082.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (2)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image084.gif)
е) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image086.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (5)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image088.gif)
ж) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image090.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (8)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image092.gif)
з) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image094.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (10)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image096.gif)
и) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image098.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (9)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image100.gif)
к) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image102.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (3)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image104.gif)
л) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image106.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (7)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image108.gif)
Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям,
используя формулу (13):
м) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image112.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image114.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (6)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image116.gif)
н) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image118.gif)
{второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image120.gif)
в итоге получаем ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image122.gif)
о) .
Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Разложим её на простейшие дроби:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image126.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image128.gif)
Перейдем к равенству числителей:
.
Отсюда следует, что
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image132.gif)
Тогда ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image134.gif)
Интегрируя почленно полученное равенство и применяя свойства неопределённого интеграла, получим:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image136.gif)
{для нахождения интегралов применим формулу (3)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image138.gif)
п) .
Под знаком интеграла неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть этой дроби путем деления числителя на знаменатель:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image142.gif)
Выделим полный квадрат в знаменателе правильной рациональной дроби:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image144.gif)
Возвращаясь к исходному интегралы, получим:
{для нахождения первых трёх интегралов применим формулу (2), для четвёртого – формулу (1), последний интеграл найдем c помощью формулы (7)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image148.gif)
р) .
Найдем интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку: ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image152.gif)
.
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image156.gif)
Перейдем к равенству числителей:
.
Отсюда следует, что
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image160.gif)
Тогда .
Интегрируя почленно полученное равенство, получим::
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image164.gif)
{для нахождения интегралов применим формулу (3)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image166.gif)
с) .
Произведем замену: ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image170.gif)
Получим: ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image172.gif)
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и есть 4, поэтому введем следующую замену:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image178.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image180.gif)
{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (3)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image182.gif)
т) .
Найдем интеграл, используя формулу тригонометрических преобразований ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image186.gif)
Интегрируя почленно полученное равенство и применяя формулу (6), получим:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image188.gif)
у) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image190.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image192.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image194.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image196.gif)
{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (6)}
;
ф) ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image200.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image202.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (7)}
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image204.gif)
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
а)
| б)
| Решение:
а) Несобственный интеграл I рода.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image210.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (2)}
- интеграл расходится.
б) Несобственный интеграл II рода.
является точкой разрыва подынтегральной функции, поэтому:
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image216.gif)
{для нахождения интеграла применим формулу (8)}
- интеграл сходится.
Задание 3:Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной линиями: и ;
б) длину дуги кривой:
,
в) объем тела, полученного вращением фигуры , вокруг оси .
Решение:
а) Существуют несколько формул для вычисления площадей плоских фигур.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image230.gif)
§ Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат, ограниченной линиями - сверху, - снизу, слева прямой , справа прямой определяется формулой (14);
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image242.gif)
§ Площадь фигуры, ограниченной кривой заданной параметрически уравнениями , определяется формулой (15);
§ Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат, ограниченной кривой и лучами , , определяется формулой: (16).
В нашем случае линии, ограничивающие фигуру, заданы в декартовых координатах, поэтому мы будем использовать формулу (14).
Найдем координаты точек пересечения линий: ![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image248.gif)
; ; .
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image282.gif)
;
б) В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image286.gif)
§ Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением длина дуги находится по формуле (17);
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image294.gif)
§ Для кривой, заданной параметрически уравнениями длина дуги находится по формуле (18);
§ Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением длина дуги находится по формуле (19).
В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (18).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image305.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image307.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image309.gif)
;
в) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: (20).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image317.gif)
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image319.gif)
Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции и прямыми , , , то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (20), равен: (21).
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image335.gif)
В условиях нашей задачи , , .
.
![](https://konspekta.net/stydopediaru/baza2/202892280493.files/image345.gif)
Контрольная работа №7
Вариант 1.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а)
| б)
| в)
| г)
| д)
| е)
| ж)
| з)
| и)
| к)
| л)
| м)
| н)
| о)
| п)
| р)
| с)
| т)
| у)
| ф)
|
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а)
| б)
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной параболами: и ;
б) длину дуги кривой: от точки с абсциссой до точки ;
в) объем тела, полученного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной гиперболой , осью ОY и прямыми и .
Контрольная работа №7
Вариант 2.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а)
| б)
| в)
| г)
| д)
| е)
| ж)
| з)
| и)
| к)
| л)
| м)
| н)
| о)
| п)
| р)
| с)
| т)
| у)
| ф)
|
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а)
| б)
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, заключенной между кривой и осью ;
б) длину дуги кривой в пределах от до ;
в) объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривыми .
Контрольная работа №7
Вариант 3.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а)
| б)
| в)
| г)
| д)
| е)
| ж)
| з)
| и)
| к)
| л)
| м)
| н)
| о)
| п)
| р)
| с)
| т)
| у)
| ф)
|
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а)
| б)
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной линией , осью и осью ;
б) длину дуги кривой между точками пересечения её с ;
в) объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой и прямой .
Контрольная работа №7
Вариант 4.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а)
| б)
| в)
| г)
| д)
| е)
| ж)
| з)
| и)
| к)
| л)
| м)
| н)
| о)
| п)
| р)
| с)
| т)
| у)
| ф)
|
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а)
| б)
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной кривой и прямыми , ;
б) длину одной арки циклоиды: ;
в) объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой , прямой и осью .
Контрольная работа №7
Вариант 5.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а)
| б)
| в)
| г)
| д)
| е)
| ж)
| з)
| и)
| к)
| л)
| м)
| н)
| о)
| п)
| р)
| с)
| т)
| у)
| ф)
|
|
Задание2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а)
| б)
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной гиперболой , осью ОХ и прямыми и ;
б) длину дуги одного оборота спирали Архимеда ;
в) объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной полуэллипсом , параболой и осью .
Контрольная работа №7
Вариант 6.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а)
| б)
| в)
| г)
| д)
| е)
| ж)
| з)
| и)
| к)
| л)
| м)
| н)
| о)
| п)
| р)
| с)
| т)
| у)
| ф)
|
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а)
| б)
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной линиями , и осью ;
б) длину дуги кривой от до ;
в) объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми и .
Контрольная работа №7
Вариант 7.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а)
| б)
| в)
| г)
| д)
| е)
| ж)
| з)
| и)
| к)
| л)
| м)
| н)
| о)
| п)
| р)
| с)
| т)
| у)
| ф)
|
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а)
| б)
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой ;
б) длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки с абсциссой ;
в) объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной одной волной синусоиды и осью .
Контрольная работа №7
Вариант 8.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а)
| б)
| в)
| г)
| д)
| е)
| ж)
| з)
| и)
| к)
| л)
| м)
| н)
| о)
| п)
| р)
| с)
| т)
| у)
| ф)
|
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а)
| б)
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной параболами: и ;
б) длину дуги полукубической параболы от точки до точки ;
в) объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , , вокруг оси .
Контрольная работа №7
Вариант 9.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а)
| б)
| в)
| г)
| д)
| е)
| ж)
| з)
| и)
| к)
| л)
| м)
| н)
| о)
| п)
| р)
| с)
| т)
| у)
| ф)
|
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а)
| б)
|
Задание 3: Вычислить:
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|