Расстояние от точки до прямой.
Расстояние d от точки до прямой (см. рис.), заданной общим уравнением может быть найдено по формуле
Пример: В треугольнике (рис.) с вершинами О(0,0), А(12,5) и В (6,8) найти уравнение сторон, высоты (В, К) биссектрисы (О, Е) угол , длину (В, К)
Решение: Используя (5), получим
или ;
или ;
или ;
Так как (В, К) (А, О), то (24,3) .
Отсюда получаем (В, К) у – 8 = или 12х + 5у – 112 = 0. Для нахождения уравнения (О ,Е) найдем координаты точки Е, используя то, что Е (конец биссектрисы) делит отрезок ВА в отношении . Так как длины |ОВ| = 10; |ОА| = 13, то и по формуле деления отрезка в данном отношении получаем .
Отсюда, опять используя уравнения прямой проходящей через две точки, получаем уравнение (О, Е) : 7х – 9у = 0. По последней формуле для угла между прямыми - θ = - имеем
Наконец длину высоты найдем используя формулу расстояния точки В до прямой (О, А) : .
Уравнения плоскости в пространстве.
Плоскость (Р), вложенную в д.с.к. пространства (рис. 14), вполне определяют лежащая на ней фиксированная точка М0 (х0,у0,z0) и любой ее так называемый нормальный вектор , перпендикулярный (Р). Условием принадлежности текущей точки М (х,у,z) (рис. 14) этой плоскости (Р) является равенство переписанное в виде
(1, а)
или (1,б)
оно именуется как векторное уравнение плоскости. Расписав в координатной форме (1,а) и (1,б) последовательно, получим: уравнение плоскости с нормальным вектором , содержащей точку М0 (х0,у0,z0) –
| | А · (х-х0) + В · (у-у0) + С · (z-z0) = 0
| |
; (2)
и общее уравнение плоскости –
| | А · х + В · у + С · z + D = 0
| |
: (3)
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние d от точки М* (х*,у*,z*) до плоскости (рисунок ниже), заданной общим уравнением
| | А · х + В · у + С · z + D = 0
| |
может быть найдено по формуле
Пример:
Найти: уравнение плоскости (Р0) (рис), содержащей точки А (1,1,1); Е(5,-1,1) и С(5,0,0); расстояние от D(6,2,2) до этой плоскости и уравнение плоскости (Р1), которая параллельна (Р0) и содержит точку D.
Решение: Возьмем сначала
Сжав его в два раза получим . Отсюда используя соответствующее уравнение плоскости получаем
(Р0): (х-1)+2(у-1)+2(z-1) = 0 или х+2у+2z –5=0
(Р1) : (х-6)+2(у-2)+2(z-2) = 0 или х+2у+2z-14=0
Теперь по формуле для расстояния от точки до плоскости расстояние D до (Р0):
/
Уравнение прямой в пространстве.
Прямую (l), вложенную в д.с.к. пространства (рис. 17), как и в плоскости вполне определяют лежащая на ней точка М0 (х0,у0,z0) и ее направляющий вектор . Из равенства
и здесь определяющего условие принадлежности к этой прямой её «текущей точки» М (х,у,z) получим векторное уравнение прямой
и далее
параметрические уравнения прямой –
;
Канонические уравнения прямой
уравнение прямой, проходящей через две точки М0 (х0,у0,z0) и М1 (х1,у1,z1) –
Однако можно подойти к определению прямой в пространстве совсем по другому и задать её как пересечение любых двух пересекающихся по ней плоскостей, то есть системой
- общие уравнения прямой.
Расстояние от точки до прямой
Расстояние d от точки М* (х*,у*,z*) до прямой (l), направляющим вектором и проходящей через точку М0 (х0,у0,z0) то есть прямой, заданной одним из своих уравнений (1), (2) или (3), может быть найдено как высота построенного на векторах и параллелограмма с площадью, равной | х | (рис. 19). Значит имеет место формула
Пример: Написать уравнение прямой, проходящей через точки А (1,1,5) и В (3,2,7) и найти расстояние от точки С (1,0,15) до этой прямой.
Решение: Используя уравнение прямой проходящей через две точки, получаем
или
Последнее - уже каноническое уравнение прямой. Теперь по последней формуле находим:
Замечания о взаимном расположении.
Так как ориентацию прямых и плоскостей в пространстве вполне определяют соответствующие направляющие или нормальные векторы, то их взаимное расположение (параллельность, перпендикулярность и пр.) характеризуется с помощью этих векторов. В частности, для нахождения угла φ между плоскостями с известными нормальными векторами и можно использовать формулу
;
а для нахождения угла α между плоскостью с нормальным вектором и прямой с направляющим вектором «сгодится» формула
.
Пример: Будут ли плоскости 2х+3у-z+2=0 и 3х-у+9z-5=0
параллельны или перпендикулярны?
Решение: и не коллинеарные, а плоскости не параллельны
и плоскости перпендикулярны.
Кривые второго порядка.
Назовем кривой второго порядка множество точек «координированной» плоскости, координаты х и у которых удовлетворяют так называемому общему уравнению кривых второго порядка
Ах2 + Вху + Су2 + Dх + Еу + F = 0
Известно, что сменой системы координат - ее параллельным переносом (*) или (и) поворотом (**) когда координаты любой точки М ( (х', у') – «новые», а (х, у) – «старые») связываются формулами
; (*)
или
. (**)
это общее уравнение может быть преобразовано к одному из следующих так называемых «канонических» («образцовых») видов:
; (1) ; (2)
; (3) ; (4)
; (5) ; (6)
; (7) . (8)
Из них, очевидно, (7) определяет пару параллельных прямых; (6) - пару пересекающих прямых; (5) - точку (0,0) и (4) и (8) - «ничего» не определяют. Наконец, будем называть: эллипсом кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (1); гиперболой - кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (2) и параболой - кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (3). (За некоторую похожесть уравнений (8) и (4) на уравнения (7) и (1) их называют соответственно уравнениями пары мнимых параллельных прямых и уравнением мнимого эллипса). Итак, повторим ещё раз что
В первом случае а и в, (а>в) называют, соответственно, большой и малой полуосями, а число - фокусным расстоянием.
Во втором случае а и в называют соответственно действительной и мнимой полуосями, а фокусным расстоянием обзывают величину .
Точки F1 (-с, 0) и F2 (с, 0) в том и другом случае называют фокусами, величину - эксцентриситетом, а прямые и - директрисами соответствующих эллипсов или гиперболы.
Важнейшими характеристиками гиперболы и только гиперболы являются так называемые асимптоты. Это прямые к которым сколь угодно близко приближаются точки гиперболы при неограниченном удалении их от начала координат.
Для параболы величины р именуется фокальным (не путать с фекальным) параметром, точка - фокусом, а прямая (d): 2 · х + р = 0 - директрисой параболы. При этом считается, что эксцентриситет всех парабол равен 1. Легко заметить, что величина р выражает расстояние от фокуса F до директрисы (d). Отметим, что точка О (0,0) принадлежит канонической параболе и называется ее вершиной.
Каждая из этих трех кривых обладает так называемым общими свойством:
| | Отношение расстояний любой точки кривой до фокуса к расстоянию до ближайшей к этому фокусу директрисы, есть величина постоянная и равная ε.
| |
Обозначив через r1 и r2 расстояния от произвольной точки эллипса или гиперболы до фокусов F1 и F2 сформулируем их так называемые характеристические свойства
r1 + r2 = 2 · а - для эллипса
r1 - r2 = 2 · а - для гиперболы.
Приведение к каноническому виду иллюстрируют следующие
Примеры: 1. х2 + 4у2 + 4х – 24у = 0
Выделяя полный квадрат «при х и у» получаем
(х+2)2 + 4 · (у-3)2 = 40.
Поделив на 40, одновременно - полагая, х+2 = х'; у-3 = у', то есть перенося центр системы координат в точку О (-2,3), получаем
каноническое уравнение эллипса. Здесь
Аналогично для уравнения 2. 3х2 – у2 + 12х – 2у = 0 получаем
3 · (х-2)2 – (у+1)2 = 12 – 1; х – 2 = х'; у + 1 = у'; О'(2, - 1),
- каноническое уравнение гиперболы.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|