УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ НАПОРНОГО ПОТОКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Рис. 7.2. Контрольный объём для вывода
уравнения Бернулли
| Уравнение Бернулли для установившегося потока вязкой жидкости является выражением закона изменения кинетической энергии применительно к одномерным задачам гидромеханики. Выделим в трубопроводе (рис. 7.2) сечениями 1-1 и 2-2, в которых движение равномерное или плавноизменяющееся контрольный объем , ограниченный контрольной поверхностью , показанной штриховой линией. Запишем для выделенного объема закон изменения кинетической энергии:
. (7.2.1)
Преобразуем слагаемые, входящие в это уравнение, представляя объемные интегралы в виде поверхностных и используя условия на контрольной поверхности , которую запишем в виде суммы . В субстанциальной производной
(7.2.2)
первое слагаемое равно нулю, так как движение жидкости установившееся, и жидкость несжимаема (r= const), а второе слагаемое представляет собой поток кинетической энергии Qk через контрольную поверхность . Условия на контрольной поверхности имеют вид (рис. 7.2)
(7.2.3)
Преобразуем второе слагаемое в (7.2.2), используя (7.2.3), (5.11) и (5.27):
(7.2.4)
2. Обратимся в уравнении (7.2.1) к слагаемому, выражающему мощность внешней массовой силы. Предположим, что внешняя массовая сила имеет потенциал, т.е. существует такая скалярная функция , для которой . Используя теорему Остроградского - Гаусса и граничные условия (7.2.3), получаем
. (7.2.5)
Полученное равенство позволяет выразить мощность внешней массовой силы через поток потенциальной энергии, обусловленной этой силой, сквозь живые сечения.
3. Рассмотрим интеграл, выражающий мощность внешней поверхностной силы:
. (7.2.6)
Рис.7.3. Напряжение и скорость жидкости в поперечном сечении w1
| В сечении 1 - 1 скорость имеет только нормальную составляющую , так как движение здесь равномерное или плавноизменяющееся. Чтобы вычислить скалярное произведение , зададим в произвольной точке живого сечения w1 систему ортогональных координат (рис. 7.3), определяемую тремя единичными векторами , из которых - нормален к живому сечению, a и лежат в его плоскости. Проектируя на эти координатные оси векторы u и рn, находим
,
при этом все три проекции напряжения могут быть отличны от нуля, но определению скалярного произведения
. (7.2.7)
Аналогичные вычисления выполним для живого сечения . На поверхности выполняется условие прилипания. Согласно полученным результатам, а также используя (7.1.2), на контрольной поверхности имеем условия:
(7.2.8)
Подставляя (7.2.8) в (7.2.7) и в (7.2.6), получаем
. (7.2.9)
Согласно равенству (7.2.9) мощность внешней поверхностной силы можно интерпретировать как поток, обусловленный этой силой потенциальной энергии сквозь живое сечение; в соответствии с (3.13) плотность распределения этой энергии равна давлению р.
Сложим равенства (7.2.5) и (7.2.6) и найдем выражение для мощности внешних сил, которое в соответствии с вышеизложенным будем интерпретировать как поток потенциальной энергии , обусловленный внешними массовой и поверхностной силами через контрольную поверхность:
.
Примем во внимание, что в сечениях 1 - 1 и 2 - 2 движение равномерное или плавноизменяющееся, и, следовательно, согласно (7.1.3) давление в этих сечениях распределено по гидростатическому закону: rU - р = const.
В соответствии с этим выражение в скобках в интегралах по живым сечениям можно вынести за знак интеграла. Кроме того, положим, что сила тяжести является единственной внешней массовой силой, т.е., что U=-gz. В результате получим
(7.2.10)
4. Последнее слагаемое в (7.2.1), выражающее мощность внутренних сил в пределах контрольного объема, оставляем без преобразования.
Подставив (7.2.4) и (7.2.10) в исходное уравнение (7.2.1) и разделив все слагаемые на весовой расход QB = rgQ, получим искомое уравнение Бернулли:
, (7.2.11)
где g = rg удельный вес, а слагаемое
(7.2.12)
выражает отнесенную к весовому расходу мощность внутренних сил (диссипацию механической энергии в единицу времени) в пределах контрольного объема.
Для сжимаемой жидкости (газа) можно выполнить аналогичный вывод и получить уравнение Бернулли в виде
, (7.2.13)
где r1 и r2 - плотности жидкости (газа) в сечениях 1 - 1 и 2 - 2.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|