Матрица линейного оператора
В силу теоремы 5.4 линейный оператор в конечномерном линейном пространстве однозначно можно задать при помощи образов базисных векторов. Наряду с ядром, образом, дефектом и рангом для линейного оператора имеет место такая характеристика, как матрица этого оператора.
Пусть – базис в конечномерном линейном пространстве ( ). Тогда по теореме 5.4 для любых векторов существует единственный линейный оператор , переводящий векторы базиса в соответствующие векторы , что можно записать в виде следующей операторной системы:
Разложим векторы через векторы базиса :
где – некоторые числа.
Определение 5.6.Квадратная матрица
,
столбцами которой являются координатные вектор-столбцы векторов в базисе , называется матрицей линейного оператора в базисе .
Следующая теорема позволяет найти координаты образа в базисе через матрицу оператора и координаты прообраза в том же базисе.
Теорема 5.7. Пусть линейный оператор, действующий в линейном пространстве и базис в . Тогда вектор-столбец координат вектора равен произведению
(5.1)
матрицы оператора в данном базисе на вектор-столбец координат вектора в данном базисе.
□ Пусть в базисе линейный оператор имеет матрицу . Разложим векторы через базисные векторы
Учитывая, что образы базисных векторов базиса имеют разложения
,
получим
В силу того, что разложение вектора по базису единственно, получим
что равносильно матричному равенству (5.1). ■
Матрица линейного оператора изменяется, когда изменяется базис линейного пространства. Найдем связь между матрицами линейного оператора в разных базисах этого линейного пространства.
Теорема 5.8 (о связи матриц линейного оператора в разных базисах). Пусть , – базисы в линейном пространстве . Матрицы и оператора в базисах , связаны равенством
, (5.2)
где – матрица перехода от базиса к базису .
□ Пусть вектору в базисах , соответствуют вектор-столбцы , а вектору вектор-столбцы . Тогда в силу матричного равенства (5.1), имеем
,
где матрицы линейного оператора в базисах , .
Далее, если есть матрица перехода от к , то используя формулы преобразования координат при переходе от базиса к базису, получим
откуда и следует справедливость равенства (5.2). ■
Теорема 5.9.Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.
□ Пусть оператор в базисах , имеет соответствующие матрицы . Тогда на основании равенства (5.2) и свойств определителей имеем
■
Согласно теореме 5.9 при смене базиса линейного пространства изменяется матрица оператора, а определитель её при этом остается неизменным. Значит, этот определитель характеризует не конкретную матрицу оператора в данном базисе, а сам оператор. Это позволяет ввести следующее определение.
Определение 5.7.Определителем линейного оператора, действующего в линейном пространстве, называется определитель матрицы этого оператора в любом базисе.
Теорема 5.10.Ранг линейного оператора совпадает с рангом матрицы этого оператора.
Пример 5.1.Записать матрицу линейного оператора , заданного по правилу
в базисе , где .
Найти образ, ранг, ядро, дефект, базисы образа и ядра оператора.
Решение. Находим образы векторов :
.
Для составления матрицы линейного оператора в базисе найдем коэффициенты разложения векторов через базисные векторы . Для этого необходимо решить систему уравнений (см. определение матрицы линейного оператора)
Каждое из уравнений этой системы решаем отдельно. Первое уравнение можно переписать в виде
Решая его, получим вектор-столбец координат вектора в базисе :
.
Решая аналогично остальные два уравнения, получим координатные вектор-столбцы векторов в базисе :
, .
В результате матрица линейного оператора в базисе имеет вид
.
Для нахождения ядра линейного оператора необходимо решить однородную систему уравнений с матрицей . Находя ее общее решение, получим ядро оператора, каждый вектор которого имеет вид
.
Очевидно, что размерность ядра (дефект оператора) равна
,
базисный вектор в ядре – вектор-столбец
.
Размерность образа оператора (ранг оператора) равна
.
Для нахождения базиса образа исследуем на линейную зависимость систему векторов и найдем максимальную систему линейно независимых векторов. Составим матрицу и приведём ее к ступенчатому виду (в результате элементарных преобразований нумерация столбцов не изменялась):
Из вида ступенчатой матрицы следует, что базис образа образуют векторы .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|